Differensial tenglamalar

Yetarliligi . Bir jinsli chegaraviy masala faqat trivial yechimga ega bo’lsin .U holda D≠0 bo’ladi .Demak ,(7.50) ga ko’ra bir jinsli bo’lmagan chegaraviy masala yagona trivialmas yechimga ega , chunki (7.50) dan tengsizlikni qanoatlantiradigan C₁, C₂, . . . . , C_n o’zgarmaslar bir qiymatli topiladi . Teorema to’la isbot bo’ldi.

7.3 -natija . Agar bir jinsli bo’lmagan chegaraviy masala ikkita y=φ₁(x) va y= φ ₂(x) , φ ₁(x)≠ φ ₂(x) yechimga ega bolsa , u holda y= φ ₁(x) - φ ₂(x) funksiya mos bir jinsli chegaraviy masalaning trivialmas yechimi bo’ladi; aksincha ,agar bir jinsli chegaraviy masalaning trivialmas yechimlarga ega bo’lsa , u holda bir jinsli bo’lmagan chegaraviy masala yo bironta ham yechimga ega bo’lmaydi yoki cheksiz ko’p yechimlarga ega bo’ladi.

Isboti Avval natijaning birinchi qismini isbotlaymiz .

Ravshanki , L(p) φ ₁(x)≡0 , L(p) φ ₂(x)≡0 va demak , L(p) (φ ₁(x)- φ ₂(x))≡0 , yana shunga o’xshash g⁰_i(φ ₁(x)- φ ₂(x))≡0 kelib chiqadi .Shuning uchun y= φ ₁(x)- φ ₂(x) funksiya bir jinsli chegaraviy masala L(p)y=0 , g⁰_i(y)=0 uchun trivialmas yechim bo’ladi .

Endi agar bir jinsli chegaraviy masala trivialmas y=y(x)≠0 , x€[x₀,x₁] yechimga ega bo’lsa, D=0 bo’ladi ((7.33) ga qarang ) U holda (7.50) sistema yo yechimga ega bo’lmaydi yoki cheksiz ko’p yechimga ega bo’ladi . Natija isbot etildi .

Endi chiziqli bir jinsli bo’lmagan differentsial tenglamani olaylik , ya’ni L(p)y= f(x) ,shu bilan birga bir jinsli bo’lmagan chegaraviy shart ham berilgan bo’lsin . Boshqacha aytganda, ushbu

(7.51)

bir jinsli bo’lmagan chegaraviy masalani ko’raylik .Bu masalaning yechimi haqida fikr yuritish uchun avval g ⁰_i (η(x))=A_i shartni qanoatlantiradigan ixtiyoriy η(x)€Cⁿ[x₀,x₁] funksiyani olamiz .So’ngra z(x) =y(x) - η(x) almashtirishni bajaramiz . Bu φ(x) funksiya uchun g ⁰_i (z(x))= g ⁰_i (y(x)- η (x))= g ⁰_i (y(x))- g ⁰_i ( η (x))≡0,