Differensial tenglamalar

3§.Yarim fazo uchun Dirixle masalasini yechish
Yarim fazo uchun Dirixle masalasini yechish.

Dirixle masalasining izlanayotgan yechimi chegaralangan bo’lsin deb hisoblaymiz . x va ξ –yarim fazoning nuqtalari bo’lib , ξ'=( ξ₁ , …. , ξ_n-1, ξ_n) nuqta ξ_n=0 tekislikka nisbatan ξ nuqtaga simmetrik nuqta bo’lsin .

g(x, ξ) =-E(x, ξ') funiksiya bo’ladi . Bundan tashqari ξ_n =0 da E(x, ξ)- E(x, ξ')=0 bo’ladi .U holda

G(x, ξ) = E(x, ξ)- E(x, ξ') (40)

funiksiya tekshirilayotgan yarim fazo uchun Grin funiksiyasidan iborat bo’ladi . Dirixle masalasining izlanayotgan u(x) yechimi uchun (31) formula o’rinli deb hisoblaymiz . Shunday ham bo’ladi , barcha x€ D lar uchun |x| → ∞ da ushbu

Tengsizliklar bajarilsa , bunda A va h –musbat sonlar .

Bunga mos ravishda yetarli katta uchun y_n =0 tekislikda berilgan φ (y₁, . . . , y_n-1) funiksiya ham shartni qanoatlantirishi kerak .(40) Grin funiksiyasining (31) dagi normal bo’yicha hosilasini hisoblaymiz :