Differensial tenglamalar

2§. Chegaraviy masalalar. Grin funksiyasi va uning xossalari.

1. Chegaraviy masalalar.

Chegaraviy masalaning qo’yilishi : agar ushbu

(4.2)
tenglama va

(7.28)
munosabatlari berilgan bo’lsa, (4.2) tenglamaning shu (7.28) munosabatlarni qanoatlantiradigan yechimini izlash chegaraviy masala deyiladi .Bu masala Koshi masalasiga qaraganda umumiy bo’lib ,undan

i= 1 , 2 , . . . , n bo’lganda Koshi masalasi kelib chiqadi .

Agar n=2 bo’lib ,

(7.29)
Bo’lsa, ikkinchi tartibli tenglamaning integral chizig’i boshlang’ich y(x₀)=y₁ shartni qanoatlantirishi lozim bo’ladi . Yana , agar n=2 bo’lib
(7.30)

Bo’lsa ,bu ham tez-tez uchraydigan chegaraviy masalaning shartidan iborat .Ba’zi hollarda yechim davriyligining chegaraviy sharti deb yuritiluvchi (n=2)

(7.31)

Shart ham uchraydi.

2.Bir jinsli chegaraviy masala .
Chegaraviy masala yechimining mavjudligi va yagonaligi muhim rol o’ynaydi .Bu mavzuga tegishli ba’zi ma’lumotlarni bayon etish uchun (7.28) munosabatlarda g_i funksiyalar o’z argumentlariga nisbatan chiziqli shakldan iborat bo’lgan holni ko’ramiz . aniqrog’i g_i funksiyalar quyidagi
(7.32)

(bunda ---- o’zgarmas ) ko’rinishda bo’lsin . Agar (i= 1, 2, . . . ,n) bo’lsa , qo’yilgan masala bir jinsli chegaraviy masala deyiladi. Agar

Bo’lsa , u bir jinsli bo’lmagan masala bo’ladi .

n-tartibli chiziqli bir jinsli

L(p)y=0 (*)

tenglama va (7.32) chegaraviy shartlar berilgan bo’lsin ,(*) va (7.32) munosabatlarni A_i =0 bo’lganda qanoatlantiradigan y(x) €C⁽ⁿ⁾ funksiyani topish masalasi (*) tenglama uchun bir jinsli chegaraviy masala deyiladi.

Ravshanki, har bir jinsli chegaraviy masala kamida bitta trivial yechimga ,ya’ni y(x)≡0,x€[x₀,x₁] yechimga ega .Ammo bir jinsli chegaraviy masala trivial bo’lmagan yechimlarga ham ega bo’lishi mumkin .Shu munosabat bilan quyidagi teoremani keltiramiz .

7.8-teorema. Agar y₁(x) , y₂(x) , . . . , y_n(x) , x€[x₀,x₁] funksiyalar (*) tenglamaning chiziqli erkli yechimlari bo’lsa ,u holda L(p)y=0 , masala trivialmas yechimga ega bo’lishi uchun

(7.33)
Determinantning nolga teng bo’lishi zarur va yetarli.

Isbot. Teoremaning shartiga ko’ra y₁(x) , y₂(x) , . . . , y_n(x) , funksiyalar [x₀,x₁] oraliqda

Chiziqli erkli yechimlar .Shuning uchun bo’lganda (*) tenglamaning barcha yechimlari

formula bilan beriladi. Jumladan , , i =1,2, … , n shartni qanoatlantiruvchi yechimi ham shu formula bilan beriladi .Shu sababli

1,2, … , n (7.34)

Munosabatlarga egamiz , ya’ni

Yoki

(7.35)

Endi bir jinsli tenglama bir jinsli chegaraviy shartni qanoatlantiradigan trivialmas yechimga ega deylik . Unda bo’ladi .Shuning uchun (7.35) dan D=0 ekani kelib chiqadi.Agar D=0 bo’lsa , u holda (7.35) dan o’zgarmaslar topiladi . Demak ,ushbu


Funksiya trivialmas bo’lib , bir jinsli chegaraviy masalaning shartlarini qanoatlantiradi . Teorema isbotlandi.
3. Bir jinsli chegaraviy masala uchun Grin funksiyasi.

Differintsial ifoda L(p)y qo’yidagi ko’rinshda bo’lsin:

L(p)y=a₀(x)y⁽ⁿ⁾+ a₁(x)y^(n-1)+…+ a_n-1(x)y¹+ a_n(x)y (7.36)
a₀(x)≠≠0 , x€I.

Ta’rif.Ushbu

L(p)y=0 , g_i ⁰(y)=0 ,i=1,2,…,n (7.37)

Chegaraviy masala uchun Grin funksiyasi deb shunday G(x,  ξ) funksiyaga aytiladiki ,u funksiya yopiq sohada aniqlangan bo’lib ,[x₀,x₁] oraliqdan olingan har bir ξ uchun x ning funksiyasi sifatida quyidagi shartlarni qanoatlantiradi:

1⁰ G(x, ξ) funksiya x va ξ bo’yicha [x₀,x₁] oraliqda uzluksiz , x bo’yicha (n-2) –tartibigacha uzluksiz differintsiallanuvchi ;

2⁰ [x₀,x₁] dan olingan ixtiyoriy tayinlangan ξ uchun G(x, ξ) funksiya x bo’yicha va oraliqlarning har birida (n-1) – va n-tartibli hosilalarga ham ega , ammo (n-1) –tartibli hosilasi x= ξ nuqtada chekli uzulishga ega , ya’ni :

(7.38)

3⁰ va intervallarning har birida x ning funksiyasi sifatida G(x, ξ) funksiya (7.37) munosabatlarni qanoatlantiradi , ya’ni L(p) G(x, ξ) ≡ 0, g⁰_i(G(x, ξ)) ≡ 0, i=1,2,3,…,n

7.9 –teorema .Agar (7.37) chegaraviy masala faqat trivial yechimga ega bo’lsa ,u holda shu masala uchun yagona Grin funksiyasi mavjud .

Isbot . y₁(x), . y₂(x),…, . y_n(x), , x € [x₀,x₁] funksiyalar L(p)y=0 tenglamaning chiziqli erkli yechimlari bo’lsin .U holda bu tenglamaning barcha yechimlari

y=C₁ y₁(x)+ …..+C _ny_n(x)

formula bilan yoziladi .Shuning uchun C₁ ,C₂ ,. . . ., C_n larning biror qiymatida bu formuladan G(x, ξ) funksiyani hosil qila olsak ,teorema isbot bo’lgan bo’ladi .Agar Grin funksiyasi mavjud bo’lsa , x₀≤x< ξ intervalda

ξ ≤x≤x₁ intervalda esa

munosabatlar o’rinli bo’lishi kerak . Bundan (n-2) –tartibigacha hosilalari uzluksiz bo’lgani uchun x= ξ bo’lganda ushbu

………………………………………………………………………

Tengliklarga ega bo’lamiz (n-1)- tartibli hosila uchun esa

tenglikka egamiz .Agar desak , yuqoridagi tengliklar quyidagicha yoziladi:

(7.39)

Bu sistemaning determinanti chiziqli erkli y₁(x), . y₂(x),…, . y_n(x) , (x₀≤x1) funksiyalar vronskianining x= ξ nuqtadagi qiymatidan iborat .Ma’lumki , bu holda W(ξ) ≠≠0 .Shuning uchun (7.41) sistema determinanti noldan farqli bir jinsli bo’lmagan sistema sifatida yagona yechimga ega .Shu yechimni C⁰₁(ξ) , C⁰₂(ξ) ,. . . , C⁰_n(ξ) deb belgilaymiz .Demak ,(7.41) sistema C⁰_v(ξ) larni bir qiymatli aniqlaydi .Endi

C⁰_v(ξ)= b⁰_v(ξ)- a⁰_v(ξ) bo’lgani uchun b⁰_v(ξ) va a⁰_v(ξ) larni aniqlash bilan shug’ullanamiz .Bu koeffitsientlarni chegaraviy shartlardan foydalanib topamiz .Uning uchun g⁰_i(y) ni bunday yozamiz :

g⁰_i(y)= g⁰_iα(y)+ g⁰_β(y) (7.40)

bu yerda

Agar (7.40) da y o’rniga G(x,ξ) funksiyani qo’ysak ,

tenglikka ega bo’lamiz . Bundan a_k lar o’rniga b_k- larni qo’yamiz :

Bundan (7.40) ga ko’ra (7.41)

kelib chiqadi . Agar i = 1 , 2 , . . ., n desak ,(7.41) dan b₁ , b₂ , . . . , b_n larga nisbatan n ta chiziqli tenglamalar sistemasini hosil qilamiz .Bu bir jinsli bo’lmagan sistema , chunki

. Agar g⁰_iα(y_i(x)) ≡ 0 bo’lsa , (7.41) dan b⁰_v(ξ) = C⁰_v(ξ) , a⁰_v(ξ)=0 kelib chiqadi. Bu holda teoremaning isboti ravshan . Endi g⁰_iα(y_i(x)) ≠ 0 holni ko’raylik .Bunda 7.8 –teoremaga ko’ra (7.41) sistemaning determinanti (b₁, b₂ , . . . , b_n larga nisbatan ) noldan farqli . Demak , b₁(ξ), …, b_n (ξ) larning yagona qiymatini topa olamiz .O’sha qiymatlarni b⁰₁(ξ), b⁰₂(ξ), . . . , b⁰_n (ξ) desak , a⁰₁(ξ), a⁰₂(ξ), . . . . , a⁰_n(ξ) lar a⁰_j(ξ)= b_j⁰(ξ) – C_j⁰(ξ) formulalar bilan topiladi. a⁰_i(ξ) va b_i⁰(ξ) , i = 1 , 2 , . . ., n lar uchun topilgan qiymatlarni tegishli ifodaga qo’ysak , G(x, ξ) uchun

(7.42)
formulaga ega bo’lamiz . Shunday qilib ,Grin funksiyasining mavjudligi va yagonaligi isbot qilindi. Bu teoremaning isboti tegishli Grin funksiyasini qurish usulini ham o’z ichiga oladi .

Bir jinsli chegaraviy masala chiziqli bir jinsli bo’lmagan differntsial teglama uchun qo’yilgan bo’lisin , ya’ni ushbu

L(p)y=f(x) , g_i⁰(y)=0, i = 1 , 2 , . . ., n (7.43)

masala ko’rilayotgan bo’lsin .Bu masalaning yechimini quydagi teorema beradi.

7.10- teorema

Agar (7.37) masala faqat trivial yechimga ega bo’lsa ,u holda [x₀,x₁]oraliqda uzluksiz bo’lgan ixtiyoriy f(x) funksiya uchun (7.43) masalaning yechimi mavjud .Bu yechim ushbu

( - Grin funksiyasi ) (7.44)

formula bilan ifodalanadi .

Isboti. (7.44) formula bilan aniqlangan biror y(x) funksiyani olaylik .Bu funksiya (7.43)

masalaning yechimi ekanini , ya’ni ushbu

L(p)y(x)≡f(x) (7.45)
g⁰_i(y(x))≡0 , i = 1 , 2 , . . ., n (7.46)

ayniyatlar o’rinli ekanini isbotlaymiz .Avval (7.46) ni ko’rsataylik . G(x, ξ) funksiyaning ta’rifiga ko’ra olingan y(x) funksiya (n-2) –tartibigacha uzluksiz differintsiallanuvchi . Shuning uchun hosilalarni

v =1 , 2 , . . . , n-2 (7.47)
kabi yozish mumkin . (7.47) formulani v=n-2 da quydagicha yozamiz :


Bundan yana x bo’yicha hosila olamiz:

Ammo funksiya x= ξ nuqtada uzluksiz bo’lgani uchun oxirgi ifoda soddalashadi:
(7.48)

Bu formuladan yana bir marta differintsiallab , quydagi ifodani topamiz :

(7.49)
Ma’lumki ,g_i⁰(y) ifoda y(x) va uning ( n-1) –tartibigacha hosilalarining x=x₀ va x=x₁ nuqtadagi qiymatlarini o’z ichiga oladi .Shunga ko’ra , (7.44) (7.47) , (7.48) lardan sodda o’zgartirishlar yordamida quydagiga ega bo’lamiz :

G(x, ξ) funksiya Ta’rif bo’yicha g_i⁰(y)=0 ( i = 1 , 2 , . . ., n) chegaraviy shartlarni qanoatlantiradi ,ya’ni g_i⁰(G(x, ξ))≡0 .Shuning uchun oxirgi integral nolga teng va g_i⁰(y(x))≡0 , i = 1 , 2 , . . ., n munosabatlarga egamiz. Bundan olingan y(x) funksiya [x₀,x₁] oraliqda chegaraviy shartlarni qanoatlantirishi kelib chiqadi .Demak (7.46) isbot etildi .Endi (7.45) ni isbot etamiz. Teoremaning shartiga ko’ra (7.37) masala faqat trivial yechimga ega . 7.9 –teoremadan L(p) (G(x, ξ))≡0 ekani chiqadi .Shuning uchun olingan y(x) funksiya hosilalarining o’rniga (7.47) , (7.48) , (7.49 ) formulalardan foydalanib , o’z ifodasini L(p) y differintsial ifodaga qo’yamiz :


Demak, (x₀, ξ) intervalda L(p)y(x) ≡ f(x) ayniyat o’rinli .SHunga o’xshash ( ξ,x₁) intervalda ham shu ayniyat o’rinli ekanini ko’rsatiladi . Shunday qilib , [x₀,x₁] ) intervalda uzluksiz f(x) funksiya uchun olingan y(x) funksiya (7.43 chegaraviy masalaning yechimi bo’ladi .

Teorema isbot bo’ldi .

2.Bir jinsli bo’lmagan chegaraviy masala .

(7.32) formulada bo’lsin .Biz .bi r jinsli bo’lmagan chegaraviy masalani ko’raylik .Bu holda asosiy xulosani quyidagi teorema ifoda etadi .

7.11-teorema .Ushbu L(p) y=0 tenglama .bir jinsli bo’lmagan shartni qanoatlantiradigan yagona yechimga ega bo’lishi uchun mos bir jinsli chegaraviy masala faqat trivial yechimga ega bo’lishi zarur va yetarli .

Isbot .Zarurligi . .Bir jinsli bo’lmagan chegaraviy masalaning yechimi y(x) funksiya bo’lsin. Unda L(p)y(x)≡0 , x€[x₀,x₁] g_i (y(x)) –A_i≡0 ayniyatlar o’rinli bo’ladi.

Bir jinsli differentsial tenglamaning fundamental sistemasi y₁(x), y₂(x), . . . ,y_n(x) funksiyalardan iborat bo’lsin .U holda ixtiyoriy yechim formula bilan yoziladi . O’zgarmas C₁, C₂, . . . . , C_n, larning biror qiymatida y(x) yechim hosil bo’lsin deylik, ya’ni . Bu funksiyani bir jinsli bo’lmagan chegaraviy shartga qo’yamiz . Sodda o’zgartirishlar natijasida quyidagini hosil qilamiz :

Demak ,ushbu

(7.50)

Sistemaga egamiz .Bu sistemaning determenanti D≠0 ((7.33) ga qarang ), chunki .Ammo D≠0 bo’lganda mos Bir jinsli chegaraviy masala 7.8-teoremaga ko’ra faqat trivial yechimga ega bo’ladi .

Yetarliligi . Bir jinsli chegaraviy masala faqat trivial yechimga ega bo’lsin .U holda D≠0 bo’ladi .Demak ,(7.50) ga ko’ra bir jinsli bo’lmagan chegaraviy masala yagona trivialmas yechimga ega , chunki (7.50) dan tengsizlikni qanoatlantiradigan C₁, C₂, . . . . , C_n o’zgarmaslar bir qiymatli topiladi . Teorema to’la isbot bo’ldi.

7.3 -natija . Agar bir jinsli bo’lmagan chegaraviy masala ikkita y=φ₁(x) va y= φ ₂(x) , φ ₁(x)≠ φ ₂(x) yechimga ega bolsa , u holda y= φ ₁(x) - φ ₂(x) funksiya mos bir jinsli chegaraviy masalaning trivialmas yechimi bo’ladi; aksincha ,agar bir jinsli chegaraviy masalaning trivialmas yechimlarga ega bo’lsa , u holda bir jinsli bo’lmagan chegaraviy masala yo bironta ham yechimga ega bo’lmaydi yoki cheksiz ko’p yechimlarga ega bo’ladi.

Isboti Avval natijaning birinchi qismini isbotlaymiz .

Ravshanki , L(p) φ ₁(x)≡0 , L(p) φ ₂(x)≡0 va demak , L(p) (φ ₁(x)- φ ₂(x))≡0 , yana shunga o’xshash g⁰_i(φ ₁(x)- φ ₂(x))≡0 kelib chiqadi .Shuning uchun y= φ ₁(x)- φ ₂(x) funksiya bir jinsli chegaraviy masala L(p)y=0 , g⁰_i(y)=0 uchun trivialmas yechim bo’ladi .

Endi agar bir jinsli chegaraviy masala trivialmas y=y(x)≠0 , x€[x₀,x₁] yechimga ega bo’lsa, D=0 bo’ladi ((7.33) ga qarang ) U holda (7.50) sistema yo yechimga ega bo’lmaydi yoki cheksiz ko’p yechimga ega bo’ladi . Natija isbot etildi .

Endi chiziqli bir jinsli bo’lmagan differentsial tenglamani olaylik , ya’ni L(p)y= f(x) ,shu bilan birga bir jinsli bo’lmagan chegaraviy shart ham berilgan bo’lsin . Boshqacha aytganda, ushbu

(7.51)

bir jinsli bo’lmagan chegaraviy masalani ko’raylik .Bu masalaning yechimi haqida fikr yuritish uchun avval g ⁰_i (η(x))=A_i shartni qanoatlantiradigan ixtiyoriy η(x)€Cⁿ[x₀,x₁] funksiyani olamiz .So’ngra z(x) =y(x) - η(x) almashtirishni bajaramiz . Bu φ(x) funksiya uchun g ⁰_i (z(x))= g ⁰_i (y(x)- η (x))= g ⁰_i (y(x))- g ⁰_i ( η (x))≡0,

ya’ni

g ⁰_i (z(x))=0 (7.52)

bir jinsli chegaraviy shartga ega bo’lamiz .Berilgan differentsial tenglama (z(x) funksiyaga nisbatan )

L(p)( η (x)+ z(x))= f(x)

yoki

L(p) z(x)= f(x)-L(p) η (x)= F (x) (7.53)

ko’rinishga keladi .Endi (7.53), (7.52) bir jinsli chegaraviy masalani ko’rish mumkin . 7.10-teoremaga ko’ra , agar L(p) z(x)=0 , g ⁰_i (z(x))=0 masala faqat trivialmas yechimga ega bo’lsa , u holda [x₀,x₁] oraliqda uzluksiz bo’lgan ixtiyoriy F(x)=f(x)- L(p) η (x) funksiya uchun (7.53), (7.52) masalaning yechimi mavjud va

(7.54)

Ko’rinishda yoziladi .Agar η (x) funksiya mos bir jinsli tenglamaning yechimi bo’lsa , y holda L(p) η (x) ≡0 F(x)=f(x) bo’ladi va (7.54) formula ko’rinishda yozilishi mumkin .Shunday qilib quydagi teorema isbot qilindi .

7.12- teorema .Bizga (7.51) bir jinsli bo’lmagan chegaraviy masala berilgan bo’lsin . [x₀,x₁] oraliqda uzluksiz bo’lgan va g_i⁰(y)=A_i bir jinsli bo’lmagan chegaraviy shartni qanoatlantiradigan ixtiyoriy funksiyani η (x) deylik . U holda , agar L(p)( y(x)-η (x))= 0 , g_i⁰( y(x)-η (x))= 0 masala faqat trivial yechimga ega bo’lsa , u holda (7.51) masala yechimga ega va va bu yechim ushbu (bunda F(x)=f(x)- L(p) η (x)) formula bilan beriladi . Agar L(p) η (x) ≡0 , g_i⁰(η (x))=A_i (i=1 , 2 , . . . n ) munosabatlar o’rinli bo’lsa , u holda F(x)=f(x) va (7.51) masalaning (7.54^//) ko’rinishda yoziladi.