Differensial tenglamalar kafedrasi oddiy differensial tenglamalar fanidan

Chegaraviy masalalarnichekli ayirmali usullar yordamida yechish
Chegaraviy masalalarni yechish Koshi masalalariga nisbatan ancha murakkab bo’lganligi sababli, bu ko’rinishdagi masalalar ba’zi xollarda Koshi masalasiga keltirib yechiladi, ko’pchilik hollarda esa chekli ayirmali usullardan foydalaniladi, masalan progonka usuli, potokli progonka usuli, differensial progonka usuli va boshqalar.Aytaylik, ikkinchi tartibli oddiy differensial tenglama

A(x)y^”+B(x)y^’+C(x)y(x)=F(x) (7.6.1)chegaraviy shartlar bilan berilgan bo’lsin

 (7.6.2)

 (7.6.3)

bu erda A(x) 0, a x b, [ ]+[ ]>0, i=0,1.

Bu chegaraviy masalani yechish uchun chekli ayirmali usulni qo’llaymiz. Buning uchun [a,b] oraliqni N ta qismga bo’lamiz va h qadamli to’r hosil qilamiz:

h=(b-a)/N; x_i=x₀+ih, x₀=a, x_N=b, i=0,N;
bu erda N-oraliqlar soni.
Tenglama koeffitsiyentlari, noma’lum funktsiya va uning hosilalarining x_i nuqtadagi qiymatlari quyidagi munosabatlar bilan beriladi:

A(x_i)=A_i, B(x_i)=B_i, C(x_i)=C_i, F(x_i)=F_i, y(x_i)=y_i,


y^’(x_i) (y_i+1-y_i)/h, y^”(x_i) (y_i+1-2y_i+ y_i-1)/h².

Ba’zan y’(x) ni y^’(x_i) (y_i+1-y_i-1)/(2h) ko’rinishida ham yozish mumkin.

U holda (7.6.1) tenglamani x=x_i nuqtadagi ifodasi quyidagi ko’rinishga ega bo’ladi:

chegaraviy shartlarni quyidagicha yozib olamiz:

 (7.6.5)

 (7.6.6)

(7.6.4)–(7.6.6) ko’rinishdagi chekli-ayirmali masalani yechishning juda ko’p usullari mavjud, masalan progonka, differensial progonka, potokli progonka, ortogonal progonka, variasion usullar va boshqalar [Samarskiy A. A. va boshqalar].Biz berilgan masalani progonka usuli bilan yechamiz. Uning uchun (7.6.4)-(7.6.6) ni quyidagi ko’rinishda yozib olamiz:

 (7.6.7)

 (7.6.8)

 (7.6.9)

Bu erda 

 

 

 

 

Hosil qilingan tenglamalar tizimi (7.6.4)-(7.6.6) ni yechimi o’ng progonka usuli orqali quyidagicha topiladi:

1. 
   To’g’ri progonka:
   

 

bu formulalar orqali ketma-ket yordamchi parametrlar (X₁, Z₁, X₂, Z₂, . . . , X_N, Z_N ) hisoblanadi.

2. 
   Teskari progonka:
   

   

y_i-1=X_iy_i+Z_i 
bu formula orqali esa ketma-ket izlanayotgan yechimlar qiymatlari y_N, y_N-1, y_N-2, . . . , y₁ hisoblanadi.

Bu o’ng progonka usuli 

 (7.6.10)
shartlar bajarilganda sonlarni yaxlitlash hatoligiga turg’un bo’ladi. 

Agarda 

 (7.6.11)

shartlar bajarilsa, chap progonka usuli qo’llaniladi:

1) 

 i=N-1, N-2, . . ., 1

2) 

 i=0,1, . . ., N-1

Misol: Quyidagi ikkinchi tartibli differensial tenglamaga 



y(0)=1, y(1)=0
qo’yilgan chegaraviy masala yechimi to’r usuli yordamida x_n=0,1n, n=0,1 . . .,10 nuqtalarda hisoblansin. 
Yechish: Berilgan masala uchun chekli ayirmalar sxemasi quyidagi ko’rinishda yoziladi:

(1-0,01n)y_n-1-2,02y_n+(1+0,01n)y_n+1=0,0002n², n=1, 2, . . ., 9, (7.6.12)

y₀=1, y₁₀=0 (7.6.13)

Bu algebraik tenglamalar tizimiga o’ng progonka usulini qo’llaymiz. Buning uchun oldin X_n ,Z_n lar hisoblanadi: 

X₁=0, X_n+1=

Z₁=1, Z_n+1=


n=1, 2, . . ., 9.

So’ng teskari yo’nalishda yechimlar 

y₁₀=0, y_n-1=X_ny_n+Z_n, n=10, 9, . . ., 1

topiladi. Hisoblangan qiymatlar quyidagi jadvalda keltirilgan:

n Xn Zn yn n Xn Zn yn 0 1 2 3 4 5 -  0,00000 0,50000 0,66667 0,75000 0,80000 - 1,0000 0,49000 0,31333 0,22000 0,16000 1,0000 0,81000 0,64000 0,49000 0,36000 0,25000 6 7 8 9 10 0,83333 0,85714 0,87500 0,88889 0,90000 0,11667 0,08286 0,05500 0,03111 0,01000 0,16000 0,09000 0,04000 0,01000 0,0

X u l o s a

Mazkur kurs ishidan asosiy maqsad - oddiy differensial tenglamalarni taqribiy yechish usullarini mukammal o’rganib, ular orqali turli xil dasturlar tuzishni takomillashtirib keyingi ish faolyatimga poydevor qurishdir.

Ushu kurs ishda men oddiy differensial tenglamalarni

taqribiy yechish usullarini o’rganishga harakat qildim. Algoritmlar, ulardan foydalanishni va ishlab chiqilgan algoritmlar yordamida dasturlar tuzishni o’rgandim.

Bu kurs ishimni tayyorlash jarayonida men o’zim uchun bilgan bilmaganlarimni o’rgandim, va men o’rganishim kerak bo’lgan

qirralari ko’pligini angladim. Endi kelajakda bu o’rganganlarim o’zimning mehnat faolyatimda juda katta samara beradi va asqotadi.

Kurs ishida quyidagilar o’rganildi:

Birinchi tartibli oddiy defferensial tenglamalarni mavjud bo'lgan yechish usullari va sonli yechish usullarini ishlab chiqish o'rganildi.

Ishlab chiqilgan usullarga asoslangan hisoblash algoritmini tuzildi.

Tuzilgan dasturlar asosida hisoblash tajribalari o'tkazildi, ya'ni EHMda hisoblash ishlarini bajarib sonli natijalar olindi. Olingan taqribiy yechimlarni xatoliklari nazariy xatoliklar bilan taqqoslab, shu taqqoslash asosida tahlil qilindi.

Foydalanilgan adabiyotlar ro’yxati:

4. 
   Asosiy manbalar
   

1. 
   M.S.Salohiddinov,O.N.Nasriddinov. Oddiy Differensial tenglamalar Toshkent 1994 yil
   
2. 
   O.Kurbanbayev, O.Nurjanov. Differensiallik tenglemeler Nukus 2008
   
3. 
   Гутер.Р.С. Янпомский.А.Р Дифференсиалные уравнение Москва 1976 г
   
4. 
   А.Ф.Филипов Сборник задач по Дифференсиалные уравнение Москва 2000 г
   

Il.Web-saytlar

1. 
   WWW.wikipediya.com
   
2. 
   WWW.ziyocom.uz
   
3. 
   www.referat.uz