Differensial tenglamaga olib keladigan masalalar. Hosilaga nisbatan yechilgan birinchi tartibli differensial tenglamalar To’la differensialli tenglama. Maxsus nuqtalar va maxsus yechimlar

45-Mavzu

Differensial tenglamaga olib keladigan masalalar. Hosilaga nisbatan yechilgan birinchi tartibli differensial tenglamalar To’la differensialli tenglama. Maxsus nuqtalar va maxsus yechimlar


(1)
Tenglamaga chiziqli tenglama deyiladi, bu yerda p(x) va q(x) oraliqda uzluksiz funksiyalar. (1) tenglamaning ikkala tomonini oralig’ida integrallovchi ko’paytuvchi ga ko’paytirsak ni hosil qilamiz.Hosil bo’lgan sodda differensial tenglamani integrallab chiziqli tenglamaning umumiy yechimi topish formulasini keltirib chiqaramiz:

(1) differensial tenglamaning Koshi formasidagi yechimi

formula orqali aniqlanadi.
1 misol.
Integrallovchi ko’paytuvchi, ga berilgan tenglamani ko’paytiramiz:

Ikkala tomonini integrallasak

bu yerdan umumiy yechim hosil bo’ladi.
2 misol.
Bu tenglama x=x(y) ga nisbatan chiziqli tenglama bo’ladi.

tenglamani ga ko’paytirsak oddiy tenglama hosil qilamiz, bu yerdan

3 misol.
Tenglamaning ikkala tomoni x bo’yicha differensiallab, ni hosil qilamiz.
Integral tenglamani yechimi , Koshi masalasiga teng kuchli ekanligini isbotlang?
(2)
tenglamaga Bernulli tenglamasi deyiladi. Bu tenglama almashtirish yordamida chiziqli tenglamaga keltiriladi.
4 misol. . Bernulli tenglamasini standart shaklga yozamiz

almashtirish qo’llaymiz

Bu yerda chiziqlali tenglamani hosil qilamiz. Yechimi va demak, Bernulli tenglamaning umumiy yechimi

Bundan tashqari y=0 yechimi bo’ladi. Bu yechim maxsus yechimdir (tushuntiring?).


(3)
Ko’rinishdagi tenglamaga Rikkati tenglamasi deyiladi. Bu tenglama umumiy holda kvadraturaga keltirilmaydi.
Agar (3) tenglamaning bitta xususiy yechimi ma’lum bo’lsa, almashtirish yordamida, mos ravishda, Bernulli va chiziqli tenglamalarga keltiriladi. Demak, bu tenglama kvadraturada yechiladi.
Xususiy yechimni topishning umumiy usulii yo’q.Ba’zi hollarda tenglamadagi c(x) ozod hadning ko’rinishiga qarab yechimni tanlash taklif qilinadi.
5-misol.
Ozod hadning ko’rinishiga ko’ra xususiy yechimni shaklda olamiz. Bu ifodani berilgan tenglamaga qo’yib, x ning bir xil darajalariga mos koeffisentlarini tenglashtirsak, a va b larni aniqlash uchun quyidagi sistemalarni hosil qilamiz:

Natijada, a=1, b=0 bo’lib tenglamamaning xususiy yechimini topamiz:
Demak, tenglamaga almashtirishni tadbiq qilsak, chiziqli tenglamani hosil qilamiz va uning umumiy yechimi bo’ladi
Berilgan tenglamaning umumiy yechimi

bo’ladi
₍₄₎
tenglama Rikkatining maxsus tenglamasi bo’lib bunda, agar A,B,C o’zgarmaslar tengsizlikni qanoatlantirsa, (4) - tenglama ko’rinishdagi xususiy yechimga ega bo’ladi
6-misol
Tenglamani (16)-bilan solishtirsak, bu yerdan
_.
Demak, tenglamaning xususiy yechimini shaklda izlaymiz. a ni topish uchun yechimni tenglamaga qo’yamiz:

bu yerdan

Demak, tenglamaning xususiy yechimi: .
Tenglamaga almashtirish tadbiq etib, uning umumiy yechimini topish mumkin.
Rikkati tenglamasini almashtirish yordamida noma’lum funksiya kvadratining koeffisiyenti + 1 yoki – 1 teng bo’lgan Rikkati tenglamasiga keltirish mumkin.
almashtirish yordamida esa noma’lum funksiya koeffisiyentini nolga tenglashtirib olish mumkin.
Umuman almashtirish yordamida Rikkati tenglamasini

ko’rinishga keltirish mumkin.
7-misol. tenglamaga almashtirish tadbiq qilamiz.

α(x) fuknsiyani shunday tanlaymizki bo’lsin bundan olish mumkin. Demak

yoki tenglamani hosil qilamiz.
8-misol. tenglamaga almashtirish tadbiq qilamiz

funksiyani shunday tanlaymizki z koeffisiyenti nolga teng bo’lsin, bundan .
Demak

yoki tenglamani hosil qilamiz.
7, 8 misollarda hosil bo’lgan tenglamalarni yechib eski izlanuvchi funksiya y ga qaytsak berilgan tenglamani umumiy yechimini hosil qilamiz.



tenglama berilgan bo’lsin.

• 
  Agar differensiallanuvchi U(x,y) funksiya mavjud bo’lib,
  
• 
  
  
• 
  tenglik bajarilsa, (4)-tenglamaga to’liq differensialli tenglama deyiladi.
  

To’liq differensiallanuvchi tenglama tenglamaga teng kuchli va uning yechimi
D soha bir bog’lamli soha bo’lib, bu sohada va hosilalar mavjud va uzluksiz bo’lsin. (4)-tenglama to’liq differensiallanuvchi tenglama bo’lishi uchun , shart bajarilshi yetarli va zarurdir.
Differensial tenglamaning umumiy integralini quyidagi formulalarning birortasi yordamida aniqlash mumkin:


bu yerda ixtiyoriy nuqta. Agar maxsusmas nuqta bo’lsa, u holda differensial tenglama yechimining mavjudligi va yagonalik nuqtasi mavjud bo’ladi.
Koshi masalasining yechimi esa

formulalarning birortasi yordamida aniqlanadi.
24 misol.

bo’lganligi sababli berilgan tenglama to’liq differensialli tenglamadir.Shunday funksiyani topish kerakki uning to’liq differensiali berilgan tenglamaning chap tomoniga teng bo’lsin, ya’ni u(x,y) uchun quyidagi shartlar o’rinli bo’lsin:

bu sistemaning birinchi tenglamasini x bo’yicha integrallaymiz, bu holda y o’zgarmas deb qaraladi. Integrallash natijasida hosil bo’lgan o’zgaruvniga – ni qo’shish kerak (integrallashni ikkinchi tenglamadan ham boshlash mumkin, bu holda o’zgarmas o’rniga – ni qo’shish kerak).

bu ifodani sistemaning ikkinchi tenglamasiga qo’yib – ni topamiz

yoki
_.
Demak va berilgan tenglamaning umumiy integrali quyidagicha bo’ladi

Agar berilgan tenglama to’liq differensialli tenglama bo’lsa, uning umumiy integralini yuqorida keltirilgan umumiy integralni topish formulalarining birortasini qo’llab topish mumkin.
1-misol.
Tenglamani to’liq differensialli bo’lish shartini tekshiramiz.

Demak, bu tenglama to’liq differensialli ekan.
deb, olamiz va umumiy integralni formula bo’yicha topamiz:

yoki bu yerdan tenglamani umumiy integralini aniqlaymiz: .