Differensial tenglamaga olib keladigan masalalar. Hosilaga nisbatan yechilgan birinchi tartibli differensial tenglamalar To’la differensialli tenglama. Maxsus nuqtalar va maxsus yechimlar

2-Misol. tenglamani ko‘rinishdagi ko‘paytuvchiga ega ekanligini ko‘rsating.
Yechish:


Demak, berilgan tenglama uchun , ko‘rinishdagi integrallovchi ko‘paytuvchi mavjud ekan u

Dastlabki tenglamani ko‘paytiramiz, bo‘ladi:
.

ravshanki , ya’ni to‘liq differensialli tenglamani hosil qildik. Bu tenglamani x₀=1, y₀=1 olib umumiy integralini topamiz
.
d) , ya’ni bo‘lsin, unda va (2) ifoda quyidagi ko‘rinishda bo‘ladi:
(10)


(11)
3-Misol. tenglamani ko‘rinishdagi integrallovchi ko‘paytuvchiga ega ekanligini ko‘rsating.
Yechish: Berilgan
,
u holda

bo‘lib, (10) quyidagi ko‘rinishni oladi:

Demak, berilgan tenglama ko‘rinishdagi integrallovchi ko‘paytuvchiga ega ekan.
(3) formulaga asosan

Dastlabki tenglamani ko‘paytirib, hosil qilamiz:
. (*)
Bundan,
.
Oson ko‘rsatishki , ya’ni tenglamaning integrallovchi ko‘paytuvchisi ekan.
1 - Izoh. dan kelib chiqadi. (1) tenglamaning yechimi va , tenglamalardan topiladi, ya’ni va yechimni beradi. Ayrim hollarda bu yechimlar maxsus yechim bo‘lishi mumkin.
4-Misol. agar bu tenglama uchun mavjud bo‘lsa, tenglamani yeching.
Yechish: Bunda chunki .

Haqiqatan, mavjud ekan, uni topamiz
.
Dastlabki tenglamani ko‘paytiramiz, unda hosil qilamiz. umumiy integralni dan y=0 maxsus yechim kelib chiqadi.
2 - Izoh. Integrallovchi ko‘paytuvchi usuli yordamida o‘zgaruvchilarga ajraladigan, bir jinsli, birinchi tartibli chiziqli differensial tenglamalarni integrallash mumkin.


5-Misol. tenglamani yeching.
Yechish: Bu o‘zgaruvchilari ajraladigan differensial tenglama.
M=xu, N=1, .
Ravshanki ga tenglamani ikkala tomonini ko‘paytirsa, to‘liq differensialli tenglama hosil bo‘ladi:
.
(boshqa tomondan bu o‘zgaruvchilari ajralgan tenglama)

dastlabki tenglamaning umumiy yechimi, bunda c - ixtiyoriy o‘zgarmas.
dan y=0 xususiy yechim kelib chiqadi, chunki u dan c=0 da hosil bo‘ladi.