Differensial hisobning geometriyaga tatbiqlari

1.2.3-eslatma. funksiyaning nuqtada uzluksiz bo’lishi muhim. Masalan, ushbu

funksiyani qaraylik. Bu funksiya uchun bo’lib, hosila nuqtani o’tishda o’z ishorasini dan ga o’zgartirsa ham, berilgan funksiya nuqtada ekstremumga (minimumga) ega emas. Bunga sabab, funksiyaning nuqtada uzluksiz emasligidir.

1.2.2-misol. bo’lsin. Bu funksiyaning ekstremumini toping.

Berilgan funksiyaning hosilasini topamiz:

Ravshanki, hosila , nuqtalarda nolga aylanadi. nuqtada esa chekli hosila mavjud emas. Demak, funksiyaga ekstremum beradigan nuqtalarni nuqtalar orasidan izlash kerak.

Avval nuqtani olaylik. Bu nuqtaning atrofini olib, hosila uchun (1.2.2) ifodani e’tiborga olsak,

uchun

uchun

bo’lishini topamiz. Demak, hosila nuqtani o’tishda o’z ishorasini dan ga o’zgartiradi. Ravshanki, berilgan funksiya nuqtada uzluksiz. Demak, berilgan funksiya nuqtada maksimumga ega va uning maksimum qiymati

Endi nuqtani qaraylik. Bu nuqtaning ) atrofini olib, (1.2.2) dan foydalansak,

uchun

uchun

bo’lishini topamiz. Demak, hosila nuqtani o’tishda o’z ishorasini dan ga o’zgartiradi. Berilgan funksiya nuqtada uzluksiz , demak, u nuqtada minimumga ega va uning minimum qiymati

Nihoyat, nuqtada berilgan funksiya minimumga ega bo’lishini yuqoridagidek ko’rsatiladi.