Differensial hisobning geometriyaga tatbiqlari

Ekstremumning yetarli shartlari

Endi funksiyaning ekstremumga ega bo’lishining yetarli shartlarini qaraymiz.

Avvalgidek quyidagi belgilashlarni kiritamiz:





funksiya nuqtada uzluksiz bo’lib, uning

atrofida chekli hosilaga ega bo’lsin.

a)Agar

uchun

uchun

tengsizliklar o’rinli bo’lsa, ya’ni hosila nuqtadan o’tishda o’z ishorasini dan ga o’zgartirsa, u holda funksiya nuqtada maksimumga ega bo’ladi.

Haqiqatan ham uchun bo’lishidan funksiyaning da qat’iy o’suvchiligi kelib chiqadi.So’ngra funksiyaning nuqtada uzluksiz bo’lishidan tenglik kelib chiqadi. Demak, uchun

tengsizlik o’rinli bo’ladi.Endi ( uchun bo’lishidan funksiyaning da qat’iy kamayuvchiligi kelib chiqadi. funksiyaning nuqtada uzluksizligidan tenglik kelib chiqadi.

Demak, uchun yana (1.2.1) tengsizlik bajariladi.Bundan uchun bo’lib, u funksiya nuqtada maksimumga ega bo’lishini bildiradi.

b)Agar

) uchun

uchun

tengsizliklar o’rinli bo’lsa, ya’ni hosila nuqtani o’tishda o’z ishorasini dan ga o’zgartirsa, u holda funksiya nuqtada minimumga ega bo’ladi.

Haqiqatan, uchun bo’lishidan funksiyaning da qat’iy kamayuvchiligi, uchun bo’lishidan esa

funksiyaning ) da qat’iy o’suvchiligi kelib chiqadi. So’ngra funksiyaning nuqtada uzluksiz ekanligini e’tiborga olib, uchun tengsizlikka ega bo’lamiz. Bu esa funksiya nuqtada minimumga ega bo’lishini bildiradi.

v)Agar

uchun

uchun

yoki

( uchun

uchun

tengsizliklar o’rinli bo’lsa, ya’ni hosila nuqtani o’tishda o’z ishorasini o’zgartirmasa, u holda funksiya nuqtada ekstremumga ega bo’lmaydi, funksiya nuqtaning atrofida qat’iy o’suvchi yoki qat’iy kamayuvchi bo’ladi.