Differensial hisobning geometriyaga tatbiqlari

Ekstremumning zaruriy sharti

funksiya intervalda aniqlangan bo’lib, u shu intervalda chekli hosilaga ega bo’lsin. Bu funksiya nuqtada maksimum (minimum)ga erishsin. Demak, ta’rifga ko’ra nuqtaning shunday atrofi mavjudki, ) da tengsizlik o’rinli bo’ladi. Bu holda Ferma teoremasiga ko’ra bo’ladi. Natijada quyidagi muhim teoremaga kelamiz.

1.2.1-teorema.Agar funksiya nuqtada chekli hosilaga ega bo’lib, bu nuqtada funksiya ekstremumga erishsa, u holda

bo’ladi.

Biroq funksiya uchun biror nuqtada chekli hosila mavjud va bo’lishidan uning nuqtada ekstremumga ega bo’lishi har doim kelib chiqavermaydi.Masalan, funksiya uchun va nuqtada bo’lsa ham u nuqtada ekstremumga ega emas (bu funksiya qat’iy o’suvchi ekanligi bizga ma’lum).

Demak, yuqoridagi teorema funksiya ekstremumga erishishining zaruriy shartini ifodalaydi.

Odatda funksiya hosilasini nolga aylantiradigan nuqtalar funksiyaning statsionar (turg’un, kritik) nuqtalari deb ham ataladi.

Biz funksiyaning nuqtada hosilasi mavjud emasligini ko’rgan edik. Bu funksiya nuqtada minimumga ega bo’lishi ravshandir. Demak, funksiya hosilaga ega bo’lmagan nuqtalarda ham ekstremum mavjud bo’lishi mumkin.

Ma’lumki, funksiyaning nuqtadagi hosilasi cheksiz.Uning grafigi funksiya grafigiga o’xshash. Bundan qaralayotgan funksiya nuqtada minimumga ega ekani ko’rinadi. Demak, funksiya hosilasi cheksizga aylanadigan nuqtalarda ham ekstremum mavjud bo’lishi mumkin.

Shunday qilib, funksiyaga ekstremum qiymat beradigan nuqtalarni:

funksiyaning statsionar nuqtalari;

funksiyaning hosilasi mavjud bo’lmagan nuqtalari;

funksiyaning hosilasi cheksizga aylanadigan nuqtalari orasidan izlash kerak ekan.

Odatda bunday nuqta funksiya ekstremumga sinaladigan nuqta deb ataladi.