Differensial hisobning geometriyaga tatbiqlari

1.3.1-teorema. funksiya intervalda qavariq (qat’iy qavariq) bo’lishi uchun uning hosilasining da o’suvchi (qat’iy o’suvchi) bo’lishi zarur va yetarli.

Isbot. Zarurligi. funksiya da qavariq bo’lsin.

Demak, bo’lganda lar uchun

bo’ladi. Bundan

bo’lishi kelib chiqadi. Keyingi tengsizlikda deb, quyidagini topamiz:

Shu (1.3.6) tengsizlikda avval da, so’ng da limitga o’tsak, u holda

bo’lib, natijada quyidagi

tengsizliklar kelib chiqadi. Demak, Shunday qilib, bo’lganda bo’ladi. Bu esa intervalda ning o’suvchi ekanini bildiradi. Endi funksiya intervalda qat’iy qavariq bo’lsin. Bu holda (1.3.6) tengsizlik ushbu

ko’rinishda bo’ladi.

Lagranj teoremasiga ko’ra

bo’ladi. So’ngra

bo’lganda

bo’lganda

tengsizlik o’rinli bo’lishini hamda (1.3.7) tengsizlikni e’tiborga olib topamiz:

Demak, Shunday qilib, bo’lganda bo’ladi. Bu funksiyaning qat’iy o’suvchiligini anglatadi.