Дифференциальные уравнения

Приложения скалярного произведения

С помощью скалярного произведения определяют косинус угла между векторами по формуле:

, (3.24)
или переходя к координатам векторов
. (3.25)
Находят проекцию одного вектора на направление другого по формуле:
, . (3.26)
Определяют длину вектора
. (3.27)
3.4 Векторное произведение векторов
Определение 3.6 Векторным произведением вектора на вектор называется вектор, обозначаемый и удовлетворяющий условиям:
1) , (3.28)
т.е. длина численно равна площади параллелограмма, построенного на векторах и ;
2) перпендикулярен вектору и вектору ;
3) , , образуют правую тройку,
т.е. если смотреть с конца последнего вектора, то кратчайший поворот от первого ко второму совершается против часовой стрелки (рис. 3.14)

В частности: . (3.29)


Свойства векторного произведения

1. 
   (антиперестановочность);
   
2. 
   (распределительность);
   
3. 
   (сочетательность по отношению к скалярному множителю);
   
4. 
   , если (или , или )
   

В частности . (3.30)

0. 
   Векторное произведение в координатной форме
   

Если векторы и заданы своими прямоугольными координатами , , то
. (3.31)

0. 
   Приложение векторного произведения
   

Площадь параллелограмма, построенного на векторах и :
(3.32)
а площадь треугольника, построенного на векторах и :
(3.33)