Определение момента инерции маятника Обербека

Определение момента инерции маятника Обербека

Цель работы: изучить вопросы динамики поступательного и вращательного движения, определить момент инерции специального тела – маятника Обербека.

Оборудование: лабораторная установка в комплекте с секундомером, штангенциркуль.

Теория вопроса.

Движение твердого тела, при котором все точки прямой, жестко связанной с телом, остаются неподвижными, называется вращением тела вокруг неподвижной оси. Прямая называется осью вращения.

Движение твердого тела, при котором только одна его точка 0 остается неподвижной, называется движением (вращением) твердого тела вокруг неподвижной точки.
Кинематической характеристикой движения служит угловая скорость тела, равная отношению вектора элементарного угла поворота тела к продолжительности этого поворота
. (1)
Вектор, характеризующий быстроту изменения скорости тела, называют угловым ускорением
. (2)
Вращательное действие силы F, вызывающей изменение угловой скорости, характеризуется моментом силы.
Моментом силы F относительно точки 0 называется физическая величина, определяемая векторным произведением радиус-вектора r, проведенного из точки 0 в точку приложения силы, на силу F
. (3)
Моментом силы относительно оси Z называют проекцию на эту ось вектора момента силы относительно любой точки, выбранной на данной оси. Значение момента не зависит от выбора положения точки 0 на оси Z.
Если тело вращается вокруг неподвижной оси Z, то момент силы и угловое ускорение связаны соотношением:
, (4)
где J – момент инерции тела относительно оси вращения.
Момент инерции относительно некоторой оси равен сумме произведений всех материальных точек, образующих механическую систему, на квадраты их расстояний от данной оси
.
Твердое тело нужно рассматривать как механическую систему, масса которой непрерывно распределена по всему объему тела, так что момент инерции тела
. (5)
Подсчет момента инерции тела относительно произвольной оси облегчается применением теоремы Штейнера: момент инерции тела J относительно любой оси равен сумме момента инерции относительно оси, параллельной данной и проходящей через центр масс тела, и произведения массы тела на квадрат расстояния a между осями
. (6)
Уравнение (4) представляет собой уравнение динамики вращательного движения твердого тела относительно неподвижной оси.
Выведем рабочую формулу для определения момента инерции тела на основе уравнения динамики вращательного движения. Угловое ускорение тела связано с тангенциальным ускорением точек, находящимся на расстоянии R от оси вращения, выражением:
. (7)
Так как нить нерастяжима и невесома, ускорение a, в свою очередь, получим из выражения:
, (8)
где h – линейный путь гири за время ее движения t.
Подставим (8) в (7), найдем угловое ускорение тела:
. (9)
В маятнике Обербека вращающий момент создается привязанной к шкиву на нити опускающейся гирей и равен произведению силы натяжения нити T на радиус шкива R:
. (10)
Найдем силу натяжения нити. На подвешенную к нити гирю массой m действуют сила натяжения нити T и сила тяжести mg. Согласно второму закону Ньютона
. (11)
Так как сила натяжения нити T, действующая на гирю, направлена вверх, а сила тяжести и ускорение нити – вниз по нити, то, спроектировав (10) на ось, направленную по нити вниз, получим
. (12)
Подставив (12) в (10), получим
(13)
или с учетом (8):
. (14)
Подставляя (13) и (8) в (14), находим момент инерции:
. (15)
Проведя преобразования, окончательно получим
. (16)