Дифференциал геометрия ва топология

СИРТНИНГ ЎРТА ВА ТЎЛА ЭГРИЛИГИ.


Режа:
1.Сиртнинг ўрта ва тўла эгрилиги.
2.Ўрта ва тўла эгриликлар учун формулалар
3.Доимий Гаусс эгрилигига эга бўлган сиртлар
4.Доимий манфий гаусс эгрилигига эга бўлган сирт.
Таъриф. Сирт эгрилик чизиғининг эгрилиги сиртнинг бош эгрилиги дейилади.
Таъриф. Сирт бош эгриликлари йиFиндисининг ярми сиртнинг ўрта эгрилиги дейилади ва Н билан белгиланади.
Таъриф. Сирт бош эгриликларининг кўпайтмаси сиртнинг тўла ёки Гаусс эгрилиги дейилади ва К билан белгиланади.
Агар бош эгриликларни деб белгиласак Таърифга асосан
Н= бўлади.
Сиртнинг эллиптик нуктасида бош эгриликлар бир ъил ишорага эга, шунинг учун бу нуктада тўла эгрилик мусбат бўлади.
Гиперболик нуктада бош эгриликлар бир ъил ишорага эга, шунинг учун бу нуктада тўла эгрилик манфий. Параболик ва куюклашув нукталарда тўла эгрилик нолга тенг бўлади.
Энди ўрта ва тўла эгриликлар учун биринчи ва иккинчи квадратик формаларнинг коэффициентлари оркали ифодалар топамиз. Ўтган параграфда нормал эгрилик учун иккита

ифодаларни топган эдик. Буларни шаклалмаштириб
Ldu+Mdv-k_n(Edu+Fdv)=0
Mdu+Ndv-k_n(Fdu+Gdv)=0
кўринишдаёзамиз. Бутенгликлардан du ва dv ларнийукотиб
=0 ниоламиз
ёки
(EG-F²)k_n²-(LG-2FM+NE)k_n+(LN-M²)=0
Бу квадрат тенгламанинг илдизлари бўлиб, улар бош эгриликларни беради. Виет теоремасига асосан
(1)
(2)
(1) ва (2) формулалар ёрдамида ўрта ва тўла эгриликлар топилади. Энди доимий Гаусс эгрилигига эга бўлган сиртларни куриб утамиз.
Гаусс эгрилиги нолга тенг бўлган сиртга мисол сифатида текисликни келтириш мумкин. Чунки текисликда ихтиёрий йўналиш бўйича нормал эгрилик нолга тенгдир. Шунинг учун хам Гаусс эгрилиги нолга тенгдир.
Доимий мусбат Гаусс эгрилигига эга бўлган сирт сферадир. Унда исталган йўналиш бўйича олинган нормал эгрилик 1/R га тенг. Шунинг учун Гаусс эгрилиги K=1/R1/R=1/R²>0 бўлиб хар доим мусбатдир.
Энди доимий манфий Гаусс эгрилигига эга бўлган сиртни курамиз. Бундай сиртлар факат айланма сиртлар орасида бўлиши мумкин.
Таъриф. Айланма сирт деб, текис эгри чизикни, шу эгри чизик текислигида ётувчи уки атрофида йўналишидан хосил бўлган сиртга айтилади.
Айланма сиртларни уки оркали утувчи текислик билан кесими меридианлар деб, укига перпендикуляр бўлган текислик билан кесими параллеллар деб юритилади.
Айланма сиртлар исталган меридиан текислигига нисбатан симметрик бўлгани учун, меридиан йўналиши бош йўналишдан иборатдир. Худди шунга ўхшаш параллеллар йўналиши бошка бош йўналишлардан иборатдир.
Демак, меридиан буйлаб олинган нормал эгрилик эса, параллелнинг Менpе теоремасига асосан олинган эгрилигига тенг.
Сиртнинг укини z уки деб оламиз ва сиртнинг xz текислигида жойлашган меридианини куриб чихамиз.
Айтайлик x=x(z) бу меридианнинг тенгламаси бўлсин. бу меридиан бўйича сиртнинг нормал эгрилиги
бўлади.
Параллеллар бўйича нормал эгрилик эса.
бўлади.
Бу ерда 1/x параллел эгрилиги, ифода эса меридиан ўринмаси билан сирт уки орасидаги бурчакнинг конусидан иборат. Бундан Гаусс эгрилиги
бўлади.
Бу тенгликни га кўпайтириб
ни оламиз.
Бу тенгликни интеграллаб, куйидаги
ни оламиз.
Бу ерда С  доимий сон. Навбатдаги интеграллашни осонлашиши учун С=1 деб оламиз. У холда
бўлади.
=tg десак, бундан

хосил бўлади. Юкоридагилардан

Бундан

бу ерда С₁ ни 0 га тенг деб олиш мумкин. Шундай килиб, сиртнинг меридиани куйидаги параметрик тенгламалар билан берилар экан, яъни


Бу эгри чизик трактриса деб аталади. Бу чизикнинг узлуксиз уки атрофида айланишидан хосил бўлган доимий ианфий Гаусс эгрилигига эга бўлган сирт псевдосфера дейилади.
Дюпен индикатрисаси

Сирт _ тенглама билан берилган бўлсин, бу сиртда бирор М нуқта оламиз ва МТ уринма ўтказамиз. МТ уринма ва сиртнинг М нуқтасидаги нормалидан ўтувчи кесувчи текислик сиртни эгри чизиқ бўйлаб кесади. Бу эгри чизиқ сиртнинг нормал кесими дейилади.

Кесувчи текисликни П₀ билан, кесимни _ билан, М нуқтадаги бош нормал билан сиртнинг _ бирлик нормал орасидаги бурчакни _ билан белгиласак, _ чизиқ учун _ ёки _ га тенг бўлади, чунки _ учун ёпишма текислик нормал текислик билан устма-уст тушади. Иккинчи квадратик форма _