Determinantlar

1.3. n-tartibli determinantlar. Birinchi n ta natural sonlarning {1,2,,n} to’plamiga o’zini har qanday  mos qo’yish n-tartibli o’rinlashtirish deyiladi. Har qanday n-tartibli  o’rinlashtirish quyidagicha yozilishi mumkin:

xususan,

kanonik o’rinlashtirish deyiladi.

Agar i bo’lib, _i>_j bo’lsa  o’rinlashtirishda (i,j) juftlik inversiyani tashkil etadi deymiz. Agar barcha invers juftliklar soni S() juft bo’lsa,  o’rinlashtirish juft, agar S() toq bo’lsa,  o’rinlashtirish toq deyiladi.
Misol. Quyidagi

o’rinlashtirishning juft yoki toq ekanligini aniqlang.

Yechish: Berilgan o’rinlashtirishni kanonik ko’rinishda yozib olamiz:

va inversiyalar sonini hisoblaymiz. Invers juftliklarni (1,4), (2,3), (2,4), (3,4) lar tashkil etgani uchun, S()=4, demak, -juft o’rinlashtirish ekan.

Ta’rif. Quyidagi:

Кvadrat matritsaning n-tartibli determinanti deb, quyidagi songa aytiladi:

bu yerda yig’indi barcha n-tartibli o’rinlashtirishlar bo’yicha bajariladi.

Bu ta’rifni tushunish uchun n=3 bo’lgan holini ko’raylik. Barcha 3-tartibli o’rinlashtirishlar quyidagicha bo’ladi:

Har bir o’rinlashtirish uchun inversiya sonini hisoblasak: S(₁)=0, S(₂)=2, S(₃)=2, S(₄)=3, S(₅)=1, S(₆)=1 ekanligiga ishonch hosil qilamiz. U holda ta’rifga ko’ra:

ya’ni 3-tartibli determinant uchun avval keltirilgan formulani hosil qildik.

Yuqoridagiga o’xshab, n-tartibli determinant uchun ham algebraik to’ldiruvchini kiritish mumkin. u holda 2-tartibli va 3-tartibli determinantlarning barcha xossalari n-tartibli determinantlar uchun ham o’rinli bo’ladi. Xususan,


(3)


(4)
bu yerda A_ik algebraik to’ldiruvchilar n-1 tartibli determinantlardir, shu sababli, (3), (4) formulalarni n-tartibli determinantni hisoblashning tartibini pasaytirish yoki satr va ustun elementlari bo’yicha yoyish usuli deb ham atashadi.
Misol. Hisoblang:

Yechish: Masalan 3-ustun elemenlarini avval 2-ustunga va –2 ga ko’paytirib 1-ustunga qo’shamiz:

3-ustunni - 4 ga va 3 ga ko’paytirib, mos ravishda 1- va 2-ustunlarga qo’shsak: