Determinantlar

1.2. Determinantlarning xossalari.

1. 
   Agar determinantning barcha satr elementlarini ustun elementlariga yoki aksincha almashtirilsa, uning qiymati o’zgarmaydi:
   

.

2. 
   Agar determinantning ikki yonma-yon turgan satr (ustun) elementlarini o’rnini mos ravishda almashtirsak, determinant qiymati qarama-qarshi ishoraga o’zgaradi:
   

3. 
   Agar determinantning biror satri (ustun) elementlari umumiy ko’paytuvchiga ega bo’lsa, u holda bu ko’paytuvchini determinant tashqarisiga chiqarish mumkin:
   

4. 
   Agar determinantning biror satr (ustun) elementlari mos ravishda boshqa yo’l (ustun) elementlariga proportsional bo’lsa, u holda determinant qiymati nolga teng bo’ladi:
   

.

Xususan, agar =0 bo’lsa, determinant qiymati nolga tengdir.

5. 
   Agar determinantning yo’l (ustun) elementlari ikki ifodaning yig’indisi ko’rinishida bo’lsa, u holda determinant ikki determinant yig’indisi ko’rinishida yozilishi mumkin:
   

6. 
   Agar determinantning yo’l (ustun) elementlarini biror 0 songa ko’paytirib, mos ravishda boshqa yo’l (ustun) elementlariga qo’shsak, determinant qiymati o’zgarmaydi:
   

Yuqorida keltirilgan xossalar determinant uchinchi va undan yuqori tartibli bo’lganda ham o’rinlidir.

Кeyingi xossalarni kiritish uchun uchinchi tartibli  determinantdan foydalanamiz,

Berilgan uchinchi tartibli determinantning i-yo’li va j-ustunini o’chirishda hosil bo’lgan ikkinchi tartibli determinant a_ij elementning minori deyiladi va M_ij-deb belgilanadi.

Masalan, a₁₁ elementning minori


.

Xuddi shuningdek, a₁₂-niki

ga teng va hokazo.

Qo’yidagi A_ij=(-1)^i+jM_ij ifoda a_ij elementning algebraik to’ldiruvchisi deyiladi. a₁₁ elementning algebraik to’ldiruvchisi


, a₁₂-elementniki esa
va hokazo.

7. 
   Determinantning biror yo’l (ustun) elementlarini mos ravishda o’zining algebraik to’ldiruvchilariga ko’paytirib qo’shsak, u holda yig’indi determinant qiymatiga teng bo’ladi. Haqiqatdan,
   

Tengliklarning to’g’ri ekanligini isbotlash qiyin emas.

8. 
   Determinantning biror yo’l (ustun) elementlarini mos ravishda boshqa yo’l (ustun) elementlarining algebraik to’ldiruvchilariga ko’paytirib qo’shsak, u holda yig’indi nolga teng bo’ladi. Masalan,
   

va hokazo. Haqiqatdan,

Yuqorida keltirilgan xossalar quyida kiritiladigan n-tartibli determinantlar uchun ham o’rinlidir.