Детерминантлар Асосий хоссалари ва ҳисоблаш усуллари

1-Теорема. Матрицалар устида элементар алмаштиришлар натижасида унинг ранги узгармайди.

2-Теорема. Агар матрицанинг ранги r га тенг бўлса, у ҳолда унда r та чизиқли эркли сатр топилади, қолган барча сатрлар эса бу r та сатрнинг чизиқли комбинацияси бўлади.

• Мисол.

• Демак, rangА=2.

• 3. Чизиқли алгебраик тенгламалар системаси
• Кронекер-Капелли теоремаси.

• Қуйидаги n та номаълумли m та чизиқли тенгламалар системасини қараймиз.

• дейиади.

• Бу ерда - номалумлар, -коэффииентлар,
• - (ихтиёрий ўзгармас сонлар) озод ҳадлар

• Агар система камида битта ечимга эга бўлса, яъни номаълумлар учун шундай

• (3.3)

• қийматлар кўрсатиш мумкин бўлсаки, уларни системага қўйганда тенгламаларнинг ҳар бири айниятга айланса, у ҳолда система биргаликда дейилади.
• Қуйида чизиқли тенгламалар системасининг биргаликда бўлиш аломатини келтирамиз. Бунинг учун система коэффициентларидан тузилган ушбу

• (3.4)

• матрицани ва А матрицадан унга озод ҳадлар устунини қўшиш билан ҳосил қилинган ушбу

• матрицани қараймиз. А матрица (1) -системанинг асосий матрицаси, В матрица эса (1)-системанинг кенгайтирилган матрицаси дейилади. Бу матрицалар-нинг ранглари тенгсизлик билан боғланган бўлади.

• (3.5)

• 1-теорема. (Кронекер-Капелли). (1)-чизиқли тенгламалар системаси биргаликда бўлиши учун асосий матрица билан кенгайтирилган матрицанинг ранги тенг, яъни бўлиши зарур ва етарли.

• 1) Агар бўлса, тенгламалар системаси биргаликда бўлмайди, яъни система ечимга эга эмас;

• 2) Агар бўлса (1)-тенгламалар системаси ягона ечимга эга;

• 3) Агар бўлса (1)-тенгламалар системаси чексиз кўп ечимга эга;

• Агар тенгламалар системаси ечимга эга бўлса, бу система биргаликда дейилади. Агар бу ечимлар ягона бўлса, система аниқланган система дейилади

• Энди бўлган системани қараймиз. Бу ҳолда системага бир жинсли чизиқли тенгламалар системаси дейилади. Ушбу бир жинсли

• (3.6)

• система доим биргаликда, чунки В матрица А матрицадан фақат элементлари ноллардан иборат устун билан фарқ қилади, яъни

• ,

• Шу сабабли

• А матрица билан В матрица тенг бўлиши учун (3.6)-тенгламалар системаси доим нолъ ечимга эга, яъни:

• (3.7)

• Бу ечимларга тривиал ечимлар дейилади. (3.6)-бир жинсли система қачон нолмас ечимга эга бўлиши ҳақидаги саволга ушбу теорема жавоб беради.

•