Департамент образования города Москвы

Глава 2. Условно сходящиеся ряды в конечномерных нормированных пространствах

§ 2.1 Формулировка теоремы Штейница и схема ее доказательства

Вектор можно рассматривать как:

1) Просто вектор , то есть как точку из пространства .
2) А можно рассматривать вектор , как отображение , которое каждому вектору ставит в соответствие скалярное произведение , то есть .
Пусть , . Тогда .
Геометрический смысл: каждому вектору в соответствие ставится его проекция на ось .
Начиная с этого момента, знак вектора над элементами опустим, для упрощения записи. Если какой-то элемент не будет являться вектором, то будем это специально оговаривать.
Пусть - ряд в нормированном векторном пространстве . Областью сумм этого ряда называется множество - совокупность тех , что при некоторой перестановке ряд сходится к .
Тогда если , то теорема Римана (§1.1) утверждает, что для любого условно сходящегося ряда в . Позже В.М. Кадец показал, что такой эффект возможен в любом банаховом пространстве. [4]
Для произвольного бесконечномерного пространства может не быть линейным множеством, может не быть связным множеством и вообще выглядеть достаточно необычно. Например, результаты П.А. Корнилова показывают, что в гильбертовом пространстве возможны случаи, когда может быть арифметической прогрессией, а иногда и состоять ровно из двух точек [6,7].
Т. е если , то ничего "хорошего" утверждать про не возможно. Остается случай . Здесь имеет место следующая теорема.
Теорема Штейница.
Область сумм условно сходящегося ряда является аффинным подпространством пространства , т.е. является параллельным сдвигом некоторого линейного подпространства на некоторый вектор.
Сначала объясним более точно, как выглядит ответ в теореме Штейница.
Пусть - сумма условно сходящегося ряда. Определим некоторое множество векторов следующим образом.
числовой ряд - сходится абсолютно . Назовем множеством функционалов сходимости ряда .
Теорема (о множестве функционалов сходимости).
- непустое линейное подпространство .
Доказательство.
1) , так как , т.е. этот ряд сходится абсолютно.
2) , то .
Действительно


, , .

3) , то . Пусть ряд сходится к элементу , тогда ряд будет абсолютно сходиться к элементу .

■
Рассмотрим множество всех векторов, которые ортогональны всем векторам из .
. Назовем его ортогональным дополнение. Из курса линейной алгебры хорошо известно, что так же линейное подпространство, которое пересекается с только в начале координат и любой вектор из однозначно раскладывается в сумму двух векторов из и .
Тогда ответ в теореме Штейница формулируется следующим образом:
Область сумм условно сходящегося ряда есть сумма и суммы этого ряда. Если ряд условно сходится, и , то .
Другими словами получается сдвигом линейного подпространства на вектор .
Рассмотрим простейший пример:
Пусть и все векторы лежат на оси , ряд - условно сходится. Тогда - все векторы на оси , а - все векторы на оси . Так как , то совпадет с осью . Следовательно теорема Римана о числовых условно сходящихся рядах действительно есть частный случай теоремы Штейница.
Для доказательства теоремы Штейница для условно сходящегося ряда нужно доказать, что , то есть нужно доказать два включения: и . Первое доказывается просто:


, тогда
.

Таким образом ряд абсолютно сходится к элементу . Тогда и перестановка данного ряда так же абсолютно сходится к элементу .

. ■