Департамент образования города Москвы

Перестановки условно сходящихся рядов

Условно сходящиеся ряды переместительным свойством не обладают: в любом таком ряде надлежащей перестановкой можно изменить его сумму или вовсе нарушить сходимость.
Пример (ряд Лейбница): Рассмотрим знакочередующийся ряд:

у него расходится ряд, составленный из положительных членов

и ряд, составленный из отрицательных членов

возьмем произвольное число . Возьмем первую по счету частичную сумму ряда , которая превосходит . После этого выпишем первую по счету сумму ряда такую, что . Далее будем поочередно добавлять положительные и отрицательные члены ряда, в итоге получим перестановку исходного ряда Лейбница, которая сходится к числу .

Приведенное рассуждение по существу использует лишь расходимость рядов и , и оказывается верным для произвольного условно сходящегося ряда.
Предположим, что ряд сходится, но не абсолютно. Из сходимости следует, что =0. Что касается рядов и , то очевидно,


=0 и =0 (*)

но в данном случае они расходятся.

Действительно, имеют место равенства , . Если и означают число положительных и отрицательных членов ряда . Подчеркнем, что из трех номеров , , один может быть выбран произвольно, а другие два подбираются по нему. Из сходимости одного из рядов или , ввиду , вытекла бы с необходимостью и сходимость другого, а сходимость обоих, ввиду , имела бы сходимость ряда - вопреки предположению.
Теорема Римана. Если ряд условно сходится, то какое бы ни взять наперед число (конечное или бесконечное), можно так переставить члены ряда, чтобы преобразованный ряд имел своей суммой именно .
Доказательство. Пусть для начала конечное. Заметим прежде всего, что из расходимости рядов и , в силу теоремы 1, вытекает, что и все их остатки также будут расходящимися, так что в любом из этих рядов, начиная с любого места, можно набрать столько членов, чтобы сумма превзошла любое число.
Пользуясь этим замечанием, мы следующим образом произведем перестановку членов ряда .
Сначала возьмем столько положительных членов ряда (в той последовательности, в которой они расположены), чтобы их сумма превзошла


: .

Вслед за ними выпишем отрицательные члены (в той последовательности, в которой они расположены), взяв их столько, чтобы общая сумма стала меньше

: .

После этого снова поместим положительные члены (из числа оставшихся) так, чтобы было

Затем наберем столько отрицательных членов (из числа оставшихся), чтобы было и т.д. Процесс этот мы мыслим продолженным до бесконечности, очевидно каждый член этого ряда , и при том со своим знаком, встретится на определенном месте.

Если всякий раз, выписывая члены и , набирать их не больше чем необходимо для осуществления требуемого неравенства, то уклонение от числа в ту или другую сторону не превзойдет по абсолютной величине последнего написанного члена. Тогда из (*) ясно, что ряд

имеет своей суммой . В силу того, что сходящийся ряд обладает сочетательным свойством, это останется верным и после раскрытия скобок.

Если , то, взяв последовательность возрастающих до бесконечности чисел _i, можно было бы набор положительных чисел подчинить требованию, чтобы суммы последовательно становились больше ₁, ₂, ₃ и т.д., а из отрицательных членов помещать лишь по одному после каждой группы положительных. Таким путем составился бы ряд имеющий в сумме + . Аналогично можно получить ряд с суммой . [15]
Установленный результат подчеркивает тот факт, что условная сходимость осуществляется лишь благодаря взаимному погашению положительных и отрицательных членов, и поэтому существенно зависит от порядка, в котором они следуют один за другим, между тем, как абсолютная сходимость основана на быстроте убывания этих членов - и от порядка их не зависит.