Департамент образования города Москвы

Доказательство (леммы Штейница). Так как сумма векторов равна 0, то частичные суммы являются вершинами замкнутой ломаной с длинами звеньев не более . Без ограничения общности далее считаем, что и что начальная вершина ломаной совпадает с началом координат. Докажем, что .
Занумеруем вершины ломаной в порядке обхода. Опишем перестановку звеньев ломаной, которая будет удовлетворять лемме Штейница. Выберем в ломаной вершину с наименьшим номером, для которой (1)
(если такой вершины не найдется, то все вершины лежат в - окрестности точки ). Звенья, стоящие до , оставим без изменения. В оставшейся части ломаной переставим звенья так, чтобы выделить правильную часть, которая заканчивается в вершине . Будем продолжать выделение правильных частей из остатка ломаной. Если на каком-то шаге получаем вершину такую, что , то продолжаем ломаную произвольными звеньями до тех пор, пока не получим вершину , удовлетворяющую (1).
Из леммы 2 следует, что расстояние от любой вершины, полученной в результате такого процесса, до точки не превосходит


. [8]


Замечание. Часто лемму Штейница используют в следующем виде: Пусть в двумерном нормированном пространстве задано конечное множество векторов , сумму которых мы обозначим через . Тогда можно так переставить элементы этого множества, чтобы для любого натурального выполнялось неравенство


,

где соответствующая перестановка множества индексов.

Если убрать из левой части данного неравенства второе слагаемое, то мы получим более удобное для нас неравенство


.

Константа Штейница и ее оценки.

Константой Штейница называется наименьшее число , удовлетворяющее условию леммы Штейница





.
Доказанную выше лемму можно теперь переформулировать так: . Вопрос о точном вычислении константы Штейница даже для евклидовой плоскости оказался весьма сложным.
В 1980 году новосибирский математик В.С. Севастьянов доказал, что . В 1991 году польский математик В. Банащик доказал, что . Следовательно для евклидовой плоскости . [13] Уже для трехмерного евклидового пространства вопрос о точном значении константы Штейница является открытым до сих пор.
Метод Севастьянова позволяет дать следующую оценку константы Штейница мерного евклидова пространства: . [13]
Покажем, как работает метод Севастьянова для евклидовой плоскости. [13]
Теорема. .
Доказательство. Фиксируем - нечетное число. Основной результат получится при . Рассмотрим набор, состоящий из следующих векторов единичного круга:
1) .
2) Все векторов равны одному и тому же вектору , .
3) Все векторов равны вектору , который симметричен вектору относительно оси абсцисс .
Сначала покажем, что сумма всех этих векторов равна 0. .
Теперь покажем, что при произвольной перестановке построенных векторов хотя бы одна из частичных сумм полученных после перестановки будет сколь угодно близка по норме к числу .
Пусть произвольная перестановка индексов .


(*)

Если вектор после перестановки оказался на одном из “дальних” мест , то возьмем первые слагаемых суммы (*). В противном случае возьмем первые слагаемых суммы (*). В любом случае в выбранной частичной сумме содержится ровно слагаемых типа 2) или 3). Координата по оси абсцисс у такой суммы равна , так как и у вектора и у вектора первая координата равна , а всего векторов равных или первому или второму вектору у нас , таким образом, первая координата равна . В случае попадания вектора в эту частичную сумму мы имеем к абсциссе, в противном не имеем. Следовательно, абсцисса равна . Ордината такой суммы равна , где некоторое нечетное число, так как у нас - нечетное число слагаемых с ординатой равной либо , либо . Значит квадрат длины построенной частичной суммы равен

.

Так как нечетно, то и поэтому квадрат длины построенной суммы больше или равен . Переход к пределу при получаем, что таким образом построенная частичная сумма по длине будет сколь угодно близко приближаться к числу . Поэтому .

В случае мерного пространства метод Севастьянова будет выглядеть следующим образом: аналогично фиксируем - нечетное число, и рассмотрим набор, состоящий из векторов единичного мерного шара:

1) .

2) Все векторов равны одному и тому же вектору .

3) Все векторов равны вектору , который симметричен вектору относительно оси абсцисс .
Тогда . Пусть произвольная перестановка индексов .


(*)

После перестановки возьмем первые слагаемых суммы (*), где количество тех векторов из , которые попали в первые членов суммы (*). Тогда в выбранной частичной сумме содержится ровно слагаемых типа 2) или 3).

Из рассуждений, аналогичных двумерному случаю, первые координат полученной частичной суммы будут равны , а последняя будет равна , где нечетное число и значит его квадрат больше 0, таким образом:


.
Тогда .
Значит . [13]