Департамент образования города Москвы

Дипломная работа

По теме: “Перестановки членов условно сходящихся векторных рядов”
Содержание

Введение 4
Глава 1. Числовые ряды и векторные ряды 6
§1.1 Основные факты об абсолютно и условно сходящихся числовых рядах 6
§ 1.2 Векторные, векторные метрические и нормированные пространства. Абсолютно сходящиеся ряды в банаховых пространствах 22
§1.3 Лемма Штейница. Некоторые оценки константы Штейница 30
Глава 2. Условно сходящиеся ряды в конечномерных нормированных пространствах 39
§ 2.1 Формулировка теоремы Штейница и схема ее доказательства 39
§ 2.2 Доказательство теоремы Штейница 43
§ 2.3 Задача "станков" 50
Заключение 53
Библиография 55

Введение

Одной из основных учебных тем в курсе классического математического анализа является тема "Числовые ряды". На их основе позже изучаются функциональные ряды, степенные ряды, разложение функций в степенные ряды, приближенные вычисления и т.д. Для числовых рядов знаменитое правило "от перестановки мест слагаемых сумма не меняется" не всегда выполняется. Более точно: если числовой ряд сходится абсолютно, то по-прежнему при любой перестановке членов этого ряда сумма остается той же самой. А вот если ряд сходится не абсолютно, то есть сходится условно, то ситуация меняется самым кардинальным образом. А именно: знаменитая теорема Римана утверждает, что в таком случае произвольно переставляя члены условно сходящегося ряда в ответе можно получить любое наперед заданное число, или . Более кратко: область сходимости перестановок условно сходящегося числового ряда есть вся числовая прямая. Настоящая дипломная работа посвящена изучению вопроса о том, как выглядит возможный аналог теоремы Римана для рядов, составленных из векторов некоторого фиксированного нормированного пространства.

Работа состоит из двух глав и приложений. В приложениях в табличном виде представлена информация о порядке характера изучения темы "Числовые ряды" в различных учебниках. Следует отметить, что изложение теоремы Римана для векторных рядов практически отсутствует на русском языке.
В первой главе представлены стандартные учебные сведения о числовых рядах (§1.1) и их аналоги в векторных пространствах (§1.2). Центральным в главе является §1.3, в нем приводится доказательство знаменитой леммы Штейница, которая в двумерном случае выглядит следующим образом: Существует константа такая, что для любой замкнутой ломаной, проходящей через начало координат, длины звеньев который не больше единицы, найдется перестановка ее звеньев, для которой все частичные суммы, полученные после перестановки, по длине не превосходят . Наименьшее удовлетворяющее этой лемме называется константой Штейница. Сам Штейниц доказал что в качестве можно выбрать . В 1978 году было доказано что можно взять равной 2. В 1990 году было показано что и . В 1998 было доказано что для евклидовой плоскости в качестве можно взять . Вопрос о точном вычислении константы Штейница оказался очень сложным до сих пор не известно точное значение константы Штейница для трехмерного евклидова пространства.
В главе 2 доказана теорема Штейница для условно сходящихся рядов в евклидовой плоскости. Оказывается, что область сходимости всех перестановок произвольного условно сходящегося ряда является либо некоторой прямой, либо всей плоскостью. Для мерного пространства область сходимости такого ряда всегда есть некоторое аффинное подпространство. В параграфе 2.1 изложена схема доказательства, в котором основным является "двойственный" взгляд на элементы евклидовой плоскости: с одной стороны это просто точки, а с другой наличие скалярного произведения позволяет интерпретировать эти точки как линейные функционалы. В параграфе 2.2 представлено само доказательство теоремы Штейница, которое самым существенным образом использует лемму Штейница.
В заключительном параграфе представлены некоторые приложения.
числовой векторный ряд сходящийся