Dekart koordinatalari. Tekisli

Dekart koordinatalari. Tekislikda va fazoda Dekart almashtirishlar mavzusini o’qitish metodikasi .
Koordinatalar usuli

Ma’lumki, o’rta maktab geometriya kursida to’g`ri chiziqli figuralar, aylana, doira kabilar hamda ularning xossalari, ularga tegishli bo’lgan ba’zi formulalar o’rganiladi.
Analitik geometriya predmetining asosiy maqsadi geometrik ob’ektlarning xossalarini analitik usulda o’rganishdan iboratdir.
Analitik geometriyaning muhim tushunchalaridan biri - koordinatalar usuli bo’lib, bu usul yordamida nuqtaning sonlar o’qida joylashuvi, ya’ni nuqtaning geometrik o’rnini topish, shuningdek, nuqta va geometrik figuralarning tekislikdagi holatini aniqlash mumkin bo’ladi. Fazodagi koordinatalar sistemasida esa fazoviy, ya’ni uch o’lchovli geometrik jismlarning holati, o’rni kabilar haqida aniq tassavurga ega bo’lish mumkin. Koordinatalar usulining kiritilishi geometriyada katta ahamiyatga ega bo’lib, unda hisoblash ishlarini bajarish va yasash singari ishlar yengil bajariladi.
Koordinatalar usulini geometriyaga kiritgan olimlardan biri – eramizdan oldingi III-II asrlarda yashab, ijod qilgan qadimgi grek matematigi Appoloniydir. Undan keyin 17-asrda fransuz matematiklari P’er Ferma va Rene Dekartlar o’z ishlarida koordinatalar usulini rivojlantirdilar hamda koordinatalar sistemasida faqatgina yassi chiziqlarni qaradilar. 18-asrga kelib, Shveysariyalik olim Leonard Eyler fazoda har xil chiziqlarni va sirtlarni o’rganishda koordinatalar usulini sistemali qo’llashni ixtiro qildi.
1. Sonlar o’qi

Sonlar o’qi deb ataluvchi o’zaro qarama-qarshi nurda yoki tekislikda nuqtaning o’rnini aniqlovchi qiymatlarga nuqtaning koordinatalari deyiladi.

Sonlar o’qi haqiqiy sonlarni tasvirlaydigan to’g`ri chiziq bo’lib, unda sanoq boshi (0 nuqta); musbat yo’nalish (0 sanoq boshidan А nuqta tomon yo’nalgan); manfiy yo’nalish ( 0 dan ОА kesmaga teskari yo’nalgan) va ОАе birlik kesma (masshtab birligi) berilgan bo’ladi.
Istalgan haqiqiy sonni sonlar o’qida nuqta bilan tasvirlash mumkin. Masalan, nol sonni О nuqta bilan, ixtiyoriy x sonni В nuqta bilan tasvirlash mumkin.
х^. . е . х.
С О А В х

ОВ_{ bo’ladi.}
Haqiqiy manfiy x^/ son orqali shunday С nuqta tasvirlanadiki (bu nuqtani x^/ bilan belgilaymiz), ОС ning yo’nalishi ОАе kesma yo’nalishiga qarama-qarshi bo’ladi (ya’ni manfiy) hamda ОС kesma uzunligining ОА kesma uzunligiga nisbati x^/
sonning absolyut qiymatiga teng bo’ladi, ya’ni
ОА
Bunda ОВ kesma ОА kesma bilan bir xil yo’naladi va ОВ kesma uzunligining ОА birlik kesma uzunligiga nisbati х ga teng, ya’ni х

ОС_=х.
Haqiqiy sonlar bilan sonlar o’qining nuqtalari orasidagi o’zaro moslik o’zaro bir qiymatlidir. Sonlar o’qidagi har bir nuqtaga bitta son mos keladi va aksincha, sonlar o’qidagi bitta songa bitta nuqta mos keladi.
ОА

Sonlar o’qida nuqta koordinatasi Вх, Сх kabi belgilanadi. Masalan, К2, L4, М3 nuqtalarni sonlar o’qida belgilash uchun avval ОАе1 masshtab birligini belgilaymiz.

М е1 К L
. . . . . х
-3 0 А 2 4
О nuqtadan o’ng tomonga 2 va 4 birlikni, shuningdek, chap tomonga 3 birlikni qo’yamiz. Natijada, mos ravishda К2, L4 va М3 nuqtalar hosil bo’ladi.
Har ikki son oralig`i kesmadan iborat bo’ladi. Masalan, yuqoridagi chizmada О va К nuqtalari orasida yotgan kesmani qaraylik. Uni ОК ko’rinishida belgilash mumkin.
Kesmaning uchlari 0 va 2 sonlarga mos kelgan. Demak, uning uzunligi haqida fikr
yuritish mumkin bo’ladi, ya’ni:
ОК2ОА212<sub>.</sub>
Shuningdek, ikki nuqta oralig`ini “interval”, “oraliq”, “soha” kabi iboralar bilan
ham atash mumkin. Masalan, О va К nuqtalar bilan chegaralangan soha-ochiq soha, yarim ochiq yoki yarim yopiq soha kabi nomlanadi.Bu nomlardan birini tanlash masala yoki topshiriqning shartlariga bog`liq bo’ladi.
Ochiq soha deyilganda, chegara qiymatlardan tashqari qiymatlar qabul qiladigan sohaning turi tushiniladi va u ОК ko’rinishida belgilanadi.
/ / / / / / / / / / /
О К
Yopiq soha deyilganda О va К chegara nuqtalarni ham qabul qiladigan soha tushiniladi va ОК ko’rinishida yoziladi.
/ / / / / / / / / / / / / /
О К
Yarim ochiq yoki yarim yopiq sohalar ОК yoki ОК ko’rinishida yozilib,
kichik qavs qo’yilgan tomondagi chegara nuqta shu sohaga tegishli bo’lmaydi.
   
О К О К
Faraz qilaylik, sonlar o’qida х₁ va х₂ nuqtalar berilgan bo’lsin va 
kesmaning uzunligini topish talab qilinsin.
А В
. . .
О х₁ х₂
^{Chizmadan:  (1)}

ekanligi ma’lum. х₁, х₂ bo’lganligi uchun bu qiymatlarni (1) tenglikka qo’yamiz:

^х1^{х}2^.
Bundan, х₂х₁. (2)

Demak, to’g’ri chiziqda (sonlar o’qida) yotgan ixtiyoriy kesmaning uzunligi yoki ikki nuqta orasidagi masofa (2) tenglik yordamida aniqlanadi.