Davlat pedagogika universiteti fizika-matematika fakulteti

Download 208,51 Kb. bet 10/21 Sana 02.07.2022 Hajmi 208,51 Kb. #731591

Bog'liq
doksim

Bu sahifa navigatsiya:

• TEOREMA 1.

ẋ = f(a, b, …. l) yordamida ifodalangan bolsa,

(1)

Har doim ham x kesmani sirkul va chizg`ich yordamida yasash
mumkinmi? –degan savol tug`iladi.
Bu savolga quyidagi ikkita teorema javob beradi,
TEOREMA 1. Agar x kesmaning uzunligi berilgan kesmalar
uzunliklarining arifmetik operatsiyalari (qo`shish, ayirish,
bo`lish,ko`paytirish) va kvadrat ildizdan chiqarish yordamida
ifodalansa, bu x kesmani sirkul va chizg`ich yordamida yasash
mumkin.
Teoremaning tasdig`i ko`rinib turibdi. x kesmaning yasalishini
har doim yordamchi kesmalarning tugallangan to`plami y, z, …, ga
olib kelsa bo`ladi.
TEOREMA 2 . Agar x kesmani berilgan kesmalar bilan sirkul va
chizg`ich yordamida yasash mumkin bo`lsa, x kesmaning uzunligini
berilgan kesmalar uzunliklarining arifmetik operatsiyalari va kvadrat
ildizdan chiqarish yordamida ifodalash mumkin.
Yasashga doir masalalarni boshqa yasash asboblari vositasida
yechish.
Shu vaqtgacha yechilgan yasashga doir masalalarda keltirilgan
ifodalarda berilgan kesmalarning ratsional funksiyalari, yo faqat
ularning kvadrat ildizlarini o’z ichiga olgan ifodalar ekanligini
ko’rdik. Bu hol tasodifiy emas. Masalaning sirkul va chizg’ich
vositasida yechilish belgisi (alomati) quyida berilmoqda:
Teorema. Ma’lum a,b,c,…kesmalar orqali ifodalangan
x f (a,b,c,...) kesmani sirkul va chizg’ich yordamida yasash mumkin
bo’lishi uchun bu ifoda berilgan kesmalardan iborat argumentlarga
nisbatan ratsional va birinchi darajali bir jinsli funksiya bo’lishi yoki
ratsional amallar (qo’shish, ayirish, ko’paytirish va bo’lish amallari)
bilan birga faqat kvadrat ildizlarni o’z ichiga olgan funksiya bo’lishi
zarur va yetarlidir.
Teoremaning zururiy shartini isboti o’zidan-o’zi ko’rinib turibdi.
Chunki, algebraik metod bilan yechiladigan barcha masalalar
maktabda ko’rilgan 1-7 masalalarga keltirib yechiladi.
100
Yechimga ega bo’lmagan yasashga doir masalalarga ko’plab
misollar keltirish mumkin. Masalan, kvadrat bo’lmagan to’g’ri
to’rtburchakka ichki aylana chizish, aylana ichida yotgan nuqtadan
shu aylanaga urinma o’tkazish mumkin emas va h.k.
Berilgan elementlari soni talabdan ko’p bo’lgan yasashga doir
masalalarni yechimga ega bo’lgan masalalari kiradi. Masalan, birilgan
ikki burchagi bo’yicha uchburchak yasash yoki berilgan 4 ta nuqtadan
aylana o’tkazish va sh.k.
Amaliyotda yechimi mavjud, lekin tanlab olingan yoki berilgan
yasash asboblari bilan yechib bo’lmaydigan masalalar katta
ahamiyatga ega. Bu holda berilgan masalani berilgan yasash vositalari
bilan yechish mumkin emasligi ko’rsatib bilishimiz lozim bo’ladi. Bu
– qiyin masalalar qatoriga kiradi. Qadimdan juda ko’p olimlar sirkul
va chizg’ich yordamida yechib bo’lmaydigan masalalar bilan
shug’ullanishganliklari bizga ma’lum.
1. «Uzunligi 2R ga teng bo’lgan kesmani yasang».Aylanani
to’g’rilash. R=1 bo’lsa, Х 2yasashga keltiriladi. Bizga ma’lumki,
taxminan
7
22
ni yasash mumkin (Arximed). Lekin 1882 yilda ni
transendent son ekanligini F.Medemonn tomonidan isbot qilingan.
2. «Yuzi berilgan doiraning yuziga teng bo’lgan kvadrat
yasang».Doira kvadraturasi.
2
, 2
2
2
2
2 2 R
Х R R R X R


dan 2R
kesmani sirkul va chizg’ich yordamida yasab bo’lmaydi. (1-masala).
3. «Xajmi berilgan kubni hajmidan 2 barobar katta bo’lgan
kubning qirrasini yasang».Kubni ikkilantirish. х3 2а3 х а3 2 agar
a=1 bo’lsa, х3 2 х3 2 0 Algebradan ma’lumki, bu tenglama
haqiqiy sonlardan iborat ildizga ega emas. Lekin ushbu masalani
ikkinchi tartibli egri chiziqlardan foydalanib yechish mumkin.
4
1
2 2
1
,
2 2 2
2 b b
y x x y








( ) 0 0, 0 (0,0)
0
).
2
,
1 2
0 (
1 1
3
4 2 2
2 2
y y b y x O
y y y by
b
x x y by C



y3 b 0 y 3 b b=2 bo’lsa ,1)
1 2
C(
r OC AB 3 2 x
101
4. «Berilgan α burchakni teng 3 ga bo’ling»
Burchakni teng 3 ga bo’lish. Faraz qilaylik 3
3

coscos34 cos3 3cos. Agar
2
; cos
2
cos
a x
desak, x3 3x a 0
(5.1) tenglamaga ega bo’lamiz. Xususiy holda a=0 bo’lsa, (900 )
x3 3x 0 tenglama hosil bo’ladi. x(x2 3) 0, x1 0, x2 3 . Masala
yechimga ega. Ya’ni, sirkul va chizg’ich yordamida 300 ni yasay
olamiz. Umuman, ixtiyoriy burchakni n
2
teng bo’lakka bo’lish
mumkin (nN ). Agar a=1 bo’lsa, (
3
) bo’lib x3 3x 1 0
tenglamagan ega bo’lamiz.
Algebradan ma’lumki bu tenglik keltirilmaydi. Ya’ni 600 ni sirkul
va chizg’ich yordamida teng 3 ga bo’lib bo’lmaydi. R.Otajonov [1]
kitobida, ushbu masalani sirkul va ikkita nuqtasi belgilangan chizg’ich
yordamida yechish mumkinligi ko’rsatilgan. (316-bet).
5.Muntazam ko’pburchaklarni yasash to’g’risida.
Ushbu muammo nemis matematigi K.Gauss tomonidan 1796
yilda hal qilingan. n-tomoni muntazam ko’pburchakning sirkul va
chizg’ich yordamida yasashning zarur va yetarli sharti n 2m P1P2... PS
ko’rinishida yozish mumkin. ekanligidadir. Bu yerda P1, P2 ,..., PS lar
turli 22k 1 ko’rinishidagi tub sonlardir. Agar n tub son bo’lsa, uning
ko’rinishi 22k 1 ko’rinishda bo’lishi zarur (Hozirgacha bunday sonlar
chekli sonda yoki cheksiz ekanligi isbot qilimagan!). Misol tariqasida,
aylanani 7 yoki 9 ta teng bo’lakka bo’lib bo’lmaydi, boshqacha qilib
aytganda yirkul va chizg’ich yordamida muntazam 7 yoki 9 burchak
yasab bo’lmaydi. Sababi 7 22 3, 9 32 . Xuddi shunday 10 burchakni
yasab bo’lmaydi.

aylanani, so‘ngra esa aylanani chizamiz. Aylanalar kеsishish nuqtalari оrqali OyA₂ ga asоsan kеsma o‘tkazamiz. O‘tkazilgan kеsma bilan bеrilgan kеsmani kеsishish nuqtasi, kеsmani o‘rtasi bo‘ladi.
1. yasaladi.
2
^{, .}
.
3
^{, .}
.
4. .
5. [ ].
6. [ ] .
7. .
nuqta kesmani teng ikkiga bo‘ladi.

9- 104-rasm
2) Bеrilgan burchakka kоngruent bo‘lgan burchak yasash masalasi.
1. berilgan bo‘lsin.
2. yasaymiz.
3. ni yasaymiz, bunda .
4.
^{5. ni yasaymiz bunda .}
6. bunda .
7. ni yasaymiz bunda .
8. ni yasaymiz.
9. .
10. ∠ .

9-105-rasm

9- 106-rasm

3) Bеrilgan burchakni tеng ikkiga bo‘lish masalasi.

Download 208,51 Kb.

Do'stlaringiz bilan baham: