Dalamber usuli yordamida differensial tenglamalarni integrallash. Yuqori tartibli tenglamaga keltirish usuli

---

29-Ma’ruza mashg’ulot. 
 
 
"Dalamber usuli yordamida differensial tenglamalarni integrallash. Yuqori tartibli 
tenglamaga keltirish usuli" mavzusi bo‘yicha tarqatma material 
 
 
Dalamber usuli 
Bu usul bilan integrallanuvchi kombinatsiyalar tuzish yordamida chiziqli tenglamalar 
sistemasining yechimi topiladi. 









)
(
)
(
2
1
t
f
ey
cx
y
t
f
by
ax
x


Sistema uchun integrallanuvchi kombinatsiya tuzamiz. 
Ikkinchi tenglamani 
k
ga ko’paytirib, birinchisiga qo’shamiz; 
)
(
)
(
)
)(
(
)
(
2
1
t
f
t
f
y
kc
a
ky
b
x
kc
a
y
k
x










Agar
k
kc
a
ke
b



shart bajarilsa, ya’ni, 
0
)
(
2




b
k
e
a
ck
kvadrat tenglama haqiqiy ildizga 
ega bo’lsa, integrallanuvchi kombinatsiya mavjud bo’ladi. 
Agar 
2
1
k
k

bo’sa, ikkita integrallanuvchi kombinatsiya mavjud bo’ladi va sistemaning 
umumiy yechimini toppish mumkin bo’ladi. 
Agar 
2
1
k
k

bo’lsa, bitta birinchi integral topiladi va bu holda sistemani bitta tenglamaga 
keltirish mumkin. 
1-Misol









1
5
4
4
5
y
x
y
e
y
x
x
t


tenglamalar sistemasining umumiy yechimini toping? 
k
k
k



4
5
5
4
tenglamadan 
1
2
,
1


k
ni topamiz. 
1

k
da
1
)
(
9
)
(





t
e
y
x
dt
y
x
d
1


k
da 
1
)
(
)
(





t
e
y
x
dt
y
x
d
Tenglamani hosil qilamiz. Bu holda mos ravishda 
y
x

va 
y
x

larga nisbatan chiziqli 
tenglamalarni integrallab, berilgan sistemaning umumiy yechimini topamiz; 












1
9
1
8
1
2
9
1
t
t
t
t
te
e
c
y
x
e
e
c
y
x
Sistemani yuqori tartibli tenglamaga keltirish usuli 
Bu usulni 







ey
cx
y
by
ax
x


sistemaning yechimini toppish uchun qo’llaymiz sistemaning birinchi 
tenglamasini 
t
bo’yicha differensiallaymiz 
y
b
x
a
x






y

o’rniga ikkinchi tenglamani qo’yamiz; 
ey
cx
x
a
x






, agar
0

b
bo’lsa, sistemaning birinchi 
tenglamasidan
y
ni topib, uning ikkinchi tenglamasiga qo’ysak, ikkinchi tartibli bir jinsli 
tenglama hosil qilamiz; 
0
)
(
)
(





x
bc
ae
x
e
a
x




---

Shunday qilib, sistemaning yechimini topishni quyidagi sistema yechimini topishga keltirildi; 










)
(
1
)
(
)
(
ax
x
b
y
bc
ae
x
e
a
x




Agar berilgan sistemada 
0

b
bo’lsa 
0

c
bo’lganda uni 
y
ga nisbatan ikkinchi tartibli 
tenglamaga keltirish mumkin. 
Agar 
0


b
c
bo’lsa ajralgan tenglamalar sistemasi bo’lib, uni ikkinchi tartibli tenglamaga 
keltirib bo’lmaydi. 
 
"Dalamber usuli yordamida differensial tenglamalarni integrallash. Yuqori tartibli 
tenglamaga keltirish usuli" mavzusi bo‘yicha mustaqil ish uchun savollar 
Tenglamalar sistemasini Dalamber usulida yeching? 
1. 
2
2
t
x
y
e
y
x t
  


 

 
2. 
5
3
2
4
2
t
x
x
y
e
y
x
y
 



 

 
3. 
5cos
2
x
y
t
y
x
y
 

  

 
4. 
2
2
4
4
2
2
t
x
x
e
y
x
y
 
 




 
5. 
2
4
t
x
x
y
e
y
y
x
 
 

 

6. 
2
1
3
2
x
y
x
y
y
x

 

  

 
Sistemani yuqori tartibli tenglamaga keltirish usuli yrdamida yeching 
 
7. 
cos
2
cos
sin
x
x
y
t
y
y
x
t
t
  

    


 
8. 
7 cos
x
y
y
x
t


   

 
9. 
2
2
2
2
4
2
4
7
x
x
y t
t
y
x
y
t
t
     


  

 

 
10. 
2
3
4
t
t
x
x
y
e
y
x
y
e


   







 
11. 
2
2
3
2
4
t
t
x
x
y
e
y
x
y
e
 
 


  


 
12. 
2
2
2
3
2
6
t
t
x
x
y
e
y
x
y
e
    


  


 
13. 
cos
2
sin
cos
x
x
y
t
y
x
y
t
t
  

    


14. 
4 cos 2
3
2
8cos 2
5sin 2
x
x
y
t
y
x
y
t
t
  

   

