Cilindrlik hám konuslıq betlikler

Cilindrlik hám konuslıq betlikler
Qandayda bir ∏ tegislikde L ekinshi tártipli tuwrı sızıq hámde usı tegislikge parallel bolmaǵan u tuwrı sızıq berilgen bolsın.
Anıqlama. u tuwrı sızıqqa parallel hámde L sızıq penen kesiliwshi keńisliktegi barlıq tuwrı sızıqlar ekinshi tártipli cilindirlik bet dep ataladı.
Anıqlamada qatnasıp atırǵan L tuwrı sızıq cilindirlik bettiń baǵıtlawshısı , tuwrı sızıqlar bolsa onıń jasawshıları delinedi.
Anıqlamadan paydalanıp,affin reperde _{ } cilindlik bet teńlemesin keltirip shıǵarayıq. Ápiwayılıq ushın baǵıtlawshı sızıqtı xOy tegislikte alamız :

u tuwrı sızıqtıń baǵıtlawshı vektorı _{ } (1-súwret).

1-súwret
Qálegen _{ } noqattı almız.Usı M noqattan ótiwshi jasawshınıń _{ } tegislik penen kesilisken noqatı _{ } bolsın. Onda _{ } hám _{ }, yaǵnıy _{ }. Bunnan : _{   }sebebi _{  } . _{ } nen λ nı tabıp, aldınǵı eki teńlikke qoyamız:
_{ }
Biraq, _{ }, demek _{ }
Solay etip, (18) teńleme cilindirlik bettiń teńlemesi.
Demek, baǵıtlawshısı _{ } kórinisindegi teńleme menen berilgen, jasawshıları_{ } vektorǵa parallel cilindirlik bettiń teńlemesin payda etiw ushın (16) degi _{ } ornına sáykes túrde _{ } ańlatpaların qoyıw kerek eken._{ } _{ }ten ibarat dara jaǵdayda _{ } hám (18) teńleme tómendegi kórinisti aladı:
_{ }
Ájayıp juwmaqqa keldik : jasawshıları _{ } kósherge parallel cilindirlik bett teńlemesi baǵıtlawshı teńlemesiniń ózi.
Mısalı, xOy tegislikte ellips _{ } teńlemesi menen berilgen bolsa, bul teńleme keńislikte jasawshıları _{ } kósherge parallel cilindirlik betten ibarat.
Ekinshi tártipli cilindirlik bet affin reperde berilgen bolsın: belgili bolǵanınday bul teńleme ekinshi dárejeli, bettiń jasawshılarına parallel bolmaǵan ∏ tegislik penen kesimdi teksereyik.
Jańa _{ } affin reperdi sonday tańlap alamız, O noqat penen _{ } bazis vektorlar ∏ da jaylassın, _{ } bolsa u ǵa parallel bolsın. Onda _{ } hám _{ } ke ótiwde teńlemeniń dárejesi saqlanǵanı ushın _{ } bet _{ } da da Ekinshi tártipli cilindirlik betti anıqlaydı, biraq bul teńleme úshinshi ózgeriwshi _{ } qatnaspaydı (_{ } bolǵanı ushın) .
Onıń reperdegi teńlemesin uluwma jaǵdayda tómendegishe jazıw múmkin:

Demek, _{ } menen ∏ nıń kesilispesinen payda bolǵan geometriyalıq obraz uluwma jaǵdayda (20) teńleme menen anıqlanadı. Bul (20) teńleme bolsa ∏ tegisliktegi ekinshi tártipli sızıqtıń uluwma teńlemesi, usı ekinshi tártipli sızıqtıń túrine qarap ekinshi tártipli cilindrdi klasslarǵa ajıratıw múmkin. Bunnan tısqarı, (20) penen anıqlanatuǵın sızıqtı _{ } tiń baǵıtlawshısı sıpatında qabıl qılsa da boladı : Demek, ekinshi tártipli cilindrdiń baǵıtlawshıları : ellips, giperbola, parabola, eki kesiliwshi tuwrı sızıq, eki ózara parallel (ústpe- úst túspegen) tuwrı sızıqlardan ibarat bolıwı múmkin. Baǵıtlawshıları usı sızıqlardan ibarat ekinshi tártipli cilindrlik betler sáykes túrde ellipsik cilindr, giperbolik cilindr, parabolic cilindr, eki kesiwshi tegislik, eki ózara parallel tegislik (ústpe- úst túspegen) dep júritiledi.(aqırǵı ekewi ayırım jaǵdaylarda aynıǵan cilindr dep te júritiledi). Bul cilindrlerdiń teńlemesin dekart reperinde (kanonik jaǵdayǵakeltirip) jazamız :
Elliptik cilindr _{ } (2-a- súwret).

1. 
   б) с)
   

2- súwret
Giperbolik cilindr _{ } (2- б - súwret).
Parabolik cilindr _{ } (2- c - súwret).
Eki kesiliwshi tegislik _{ } (2-_{  }- súwret).
Eki parallel tegislik  _{ } (2- e - súwret).
Mısal. Baǵıtlawshı (_{ }) tegislikte _{ } teńleme menen anıqlanıwshı, jasawshıları _{ } vektorlarǵa parallel cilindrlik bet teńlemesin jazıń.
Sheshiw. Berilgenlerge tiykarlanıp _{ }
, _{ }. Onda bul bet teńlemesi :
_{ }
Endi ekinshi tártipli bet
 
Uluwma teńleme menen berilgen bolsa, qanday shárt orınlanǵanda bul teńleme jasawshıları _{ } vektorǵa parallel ekinshi tártipli cilindrlik betti anıqlaw máselesine toqtalayıq .
12-ekinshi tártipli bet penen tuwrı sızıqtıń kesilisiw máselesin qarap shıqqan edik, bul máseleniń sheshiwshi _{ } kvadtar teńlemege baylanıslı bolıp, onı biz teksergen edik.
(21) bettiń jasawshıları _{ } vektorǵa parallel bolsın. _{ } keńisliktegi qálegen noqat bolsın, M noqattan ótip ǵa parallel tuwrı sızıq yaki (21) bet quramında boladı, yaki ol menen bir de uluwma noqatqa iye bolmaydı. Onda 19- § degi b)yamasa c) jaǵdaylarǵa tiykarlanıp _{ } yaki

boladı. M noqat hár qanday bolǵanda da usı shárt hámiyshe orınlanıwı ushın
_{ 
 }
bolıwı kerek. Kerisinshe _{ } lar ushın (22) ni qanaatlandırsın, onda _{ } vektorǵa parallel bolǵan tuwrı sızıq (21) tiń jasawshısı ekenligin dálilleymiz.
Haqıyqattan da, (21) bettiń qálegen _{ } noqatın alayıq, ol noqatta _{ } ǵa parallel qılıp ótkerilgen _{ } tuwrı sızıq _{ } nıń jasawshısı ekenin kórseteyik, _{ } tıń parametrik teńlemeleri tómendegishe bolsın:
_{ }
Bul mánislerdi (21) ke qoysaq jáne (22)nı
_{ }


ti de itibatǵa alsaq , _{ } boladı. M noqat _{ } ǵa tiyisli bolǵanı ushın



nen _{ } ekenligi kelip shıǵadı, demek, _{ }tiykarlanıp  u tuwrı sızıq (21) tiń jasawshısı eken.
Tómendegi tikarǵı juwmaqqa keldik: (21) teńleme menen anıqlanıwshı bet jasawshıları _{ } vektorǵa parallel bolıwı ushın (21) shártlerdiń barlıǵı orınlanıwı zárúr hám jetkilikli eken.
Mısal: _{ } teńleme menen anıqlanǵan bettiń cilindrlik ekenligin dálilleń.
Sheshiw: _{ } menen salıstırsaq : _{ } (22) teńlemini dúzemiz:
_{ 
 } desek, _{ 
 
 }
demek, _{ } vektor berilgen bet jasawshıları ushın baǵıtlawshı vektor bolatuǵın eken.

Bazı bir ∏ tegislikte L ekinshi tártipli sızıq hám tegislikke tiyisli bolmaǵan M_o noqat berilgen bolsın.

Anıqlama. Keńisliktegi M_o noqattan ótip L di kesip ótiwshi barlıq tuwrı sızıqlar ekinshi tártipli konus betleri (yamasa konus ) dep ataladı. M_o konus ushı, L sızıq bolsa, konus baǵıtlandırıwshısı, konustı payda etiwshi tuwri sızıqlaronin’ qurawshıları dep ataladı.
Konus qurawshıları orayı konus ushında bolǵan tuwri sızıqlar baylamına tiyisli.
Endi konus ten’lemesin keltirip shıǵarayıq. Affin reperin sonday tańlap alamız, konustıń baǵıtlandırıwshısı jatqan tegislik ∏=xOy tegislikten ibarat bolıp, M_o (x_o, y_o, z_o,) noqat bolsa keńisliktiń xOy da jatpaǵan qálegen noqatı bolsın (3-súwret).
_{ }

3-súwret
Konustıń qálegen _{ } noqatin alayıq, bul jaǵdayda _{ } tuwrı sızıq konustıń qurawshısı bolıp, L menen (yaǵniy xOy tekislik penen) keslisken noqati_{ } bolsin. _{ } noqatlari bir tuwrı sızıqta jatqanı ushın

_{ }yamasa

Sońǵı teńlikten _{ }nı tawıp, dáslepki eki teńlikke qoyamiz:

_{ }, _{ } (23)
_{ } yamasa
_{ } (24)
Anıqlıq, konusqa tiyisli barlıq noqatlardıń koordinataları (24) di qanaatlandıradı, konusqa tiyisli bolmaǵan hesh qanday noqattıń koordinataları (24) ti qanatlaandırmaydı, demek, (24) anıqlama konus teńlemesi edi.
Konustıń ushi koordinatalar basınan ibarat bolǵan haldi teksereyik. Bunıń ushın dáslep algebradan funkciyanıń birdeylilik túsinigin esleyik, eger qálegen t ushın _{ } shárt orınlansa,_{ }funkciya k- da’rejeli birdey funkciya dep atalar edi, máselen, _{ } funkciya ekinshi dárejeli birdey funkciya esaplanadı: