Shizma-12 Shizma-13

Buralish jáne onı esaplaw formulaları. Frene formulaları

Iymek sızıqtıń berilgen noqatı daǵı buralishi túsinigin kiritaylik. Bizge iymek sızıq hám oǵan tiyisli noqat berilgen bolsın. noqatqa jaqın hám ga tiyisli noqattı menen, menen bul noqatlardan ótetuǵın jabıwma tegislikler arasındaǵı múyeshni, menen ayqulaq uzınlıǵın belgileylik.

Shizma-12 Shizma-13

Tariyp: noqat noqatqa intilganda ańlatpanıń limiti iymek sızıqtıń noqat daǵı absolyut buralishi dep ataladı hám menen belgilenedi.

Teorema-13: Úsh ret differentsiallanuvchi regulyar iymek sızıqtıń, noqatda egriligi noldan ayrıqsha bolsa, ańlatpa tayın limitga iye. Eger iymek sızıq tábiy parametr járdeminde

teńleme menen berilgen bolsa, onıń absolyut buralishi,

formula boyınsha esaplanadı.

Tastıyıq : Shama menen oylayıq, noqat daǵı qıysıqlıq noldan ayrıqsha bolsın. Qıysıqlıq úzliksiz funktsiya bolǵanlıǵı ushın ga yakin noqatlarda da qıysıqlıq noldan ayrıqsha boladı

Sol sebepli, noqatqa jaqın noqatlarda hám vektorlar óz-ara nokollinear boladı. Sonday eken, hár bir noqattan birden-bir jabıwma tegislik ótedi. Eger - vektorlar hám noqat daǵı jabıwma tegislikke perpendikulyar birlik vektorlar (yaǵnıy birlik bınarmal vektorlar ) bolsa,

teńlik orınlı boladı.

Sol sebepli

teńlik orınlı. Bul teńlikte limitga ótip, teńlikti payda etemiz. Bınarmal vektor birlik vektor bolǵanlıǵı ushın boladı. Eger bolsa,- birlik boshnormal vektor,- birlik urınba vektor boladı. Sol sebepli boladı. Sonday eken,, sebebi. Bul teńlikten, ekenligi kelip shıǵadı. Sonday eken,. Sol sebepli, teńlikti jaza alamız. Bul teńlikke ańlatpalardı qoyıp, formulanı payda etemiz. Endi buralishni anıqlaylik. vektor vektorǵa parallel bolǵanlıǵı ushın iymek sızıq boylap háreket qilsak (s óse baslaǵanda ) jabıwma tegislik urınba átirapında sheńber baslaydı. Eger jabıwma tegislik buralishi baǵdarı den ga jónelgen bolsa, (+) belgi menen keri jaǵdayda bolsa (-) belgi menen alıp, formula boyınsha buralishni kiritemiz. dıń ańlatpasın esapqa alıp

formulanı payda etemiz.

Endi qálegen parametr ushın buralishni esaplaw formulasın keltirip shıǵaramız. Onıń ushın ayqulaq uzınlıǵı parametr dıń funktsiyası ekenliginen paydalanamız. Iymek sızıq teńlemesi bolsa,, ańlatpalardı buralish formulasına qóysaq

formulanı payda etemiz.

Eger qandayda-bir sızıqtıń buralishi hámme noqatlarda nolǵa teń bolsa, ol álbette tegis sızıq boladı, yaǵnıy qandayda-bir tegislikte jatadı (tastıyıqlang).

Joqarıda kórsetip ótkenimizdek, eger regulyar sızıq

teńleme menen berilip, hár bir ushın hám vektorlar kollinear vektorlar bolmasa, sızıqtıń hár bir noqatına ortonormal sistemanı quraytuǵın ush vektordı uyqas qoyıw múmkin. Bul úshlıq birlik urınba vektor, birlik bas normal vektor hám birlik bınarmal vektorlardan ibarat. Bul úshlıqtı Frene ushlıǵı dep ataymız. Házir biz keńislikgi orientatsiyani saqlawshı háreket regulyar sızıqtı regulyar sızıqqa ótkeziwin hám bunda Frene ushlıǵı da taǵı Frene ushlıgiga ótiwin tastıyıqlaymız.

Keńislik regulyar iymek sızıq

teńleme menen, onıń háreketdegi obrazı

teńleme menen berilgen bolsın. Eger

bolıp, háreket

matritsa hám

vektor járdeminde berilgen bolsa, noqattıń koordinataları

kóriniste boladı. Sol sebepli vektordıń koordinataları

funktsiyalar bolsa,

teńlikten

formula kelip shıǵadı. Bul teńlikte hám vektorlar ústin kóriniste jazılǵan. Bul jerde ortogonal matritsa bolǵanı ushın

teńlikler orınlı. Bul teńliklerden aqırǵısı orınlı bolıwı ushın shártni da yaǵnıy háreket orientatsiyani saqlawın talap etdik. Bul teńliklerden

formulalar payda etemiz. Bul formulalar sızıqtıń Frene ushlıǵı akslantirishda sızıqtıń Frene ushlıgiga ótiwin tastıyıqlaydı.

Bul formulalardan orientatsiyani saqlawshı háreketde sızıqlardıń egriligi hám buralishi da ózgermay qalıwı kelip shıǵadı. Haqıyqatlıqtan, qıysıqlıq hám buralish formulalarınan paydalanıp,

teńliklerdi payda etemiz.

Frene formulaları

Iymek sızıq g tábiy parametr járdeminde

teńleme menen berilgen bolsın. Eger noqat dıń parametrdiń ma`nisine uyqas keliwshi noqat bolsa, bul noqattan shıǵıwshı óz-ara ortogonal ush vektor bar ekenligin kórdik.

Bular,- birlik urınba vektor,- birlik bas normal vektor,- birlik bınarmal vektorlar bolıp tabıladı. Iymek sızıq dıń noqat átirapındaǵı bólegin tekseriwde noqattı koordinata bası retinde,-vektorlardı koordinata oqlarınıń jóneltiriwshi vektorlar retinde alaylıq. Onıń ushın, aldın vektorlardıń tuwındıların vektorlar arqalı ańlatpalaylik. Birinshiden, munasábetin bilamiz. Aldınǵı paragrafda ni kórsetken edik. Bulardıń hám ni esapqa alıp den formulanı payda etemiz.

Sonday eken,

formulaları payda etemiz.

Endi vektor -funktsiyanı Teylor qatarına yoyaylik

M noqat koordinata bası bolǵanlıǵı ushın bul qatarda munasábetlerdi esapqa alıp,

teńlikti payda etemiz.

Endi oqları uyqas túrde vektorlar baǵdarlarına iye ekenliginen paydalanıp

teńlemelerdi payda etemiz. Bul teńlemelerde tek qıysıqlıq hám buralish qatnasmokda. Sonday eken, sızıqtı anıqlaw ushın onıń hámme noqatlarında qıysıqlıq hám buralishni biliwimiz jetkilikli.

Endi sol máseleni talqılaw qilaylik. Bizge parametrlengen regulyar iymek sızıq berilgen bolsa, onıń qálegen noqatında ush funktsiyalar anıqlanǵan. Bul funktsiyalar úzliksiz hám munasábetler orınlı bolıp tabıladı. Eger parametr retinde ayqulaq uzınlıǵın alsaq, funktsiyalar sanı 2 boladı.

Teorema-14. Eki regulyar iymek sızıqlardıń ayqulaqları hám uyqas túrde

teńlemeler járdeminde berilip,

teńlik qálegen ushın orınlı bolsın. Bunnan tısqarı hár bir ushın teńlikler orınlı bolsa, birden-bir háreket ámeldegi bolıp,

munasábet orınlı boladı.

Tastıyıq. Bul sızıqlardıń uzınlıqları teń bolǵanı ushın

belgilew kiritip, sızıqlar teńlemelerin tábiy parametr járdeminde jazamız. Sonda olardıń teńlemeleri

kóriniste boladı. Endi hár bir sızıqta tábiy parametrdiń ma`nisine uyqas keliwshi noqatların uyqas túrde hám menen belgileymiz. Bul noqatlar daǵı Frene úshlıqları uyqas túrde, hám vektorlardan ibarat boladı. Bul úshlıqlar keńislik birdey orientatsiyalarni anıqlagani ushın sonday háreket barki, ol noqattı noqatqa, vektorlardı uyqas túrde vektorlarǵa ótkeredi. Biz teńlikti tastıyıqlaymız. Onıń ushın noqattıń radius -vektorın menen belgilep, teńleme menen anıqlanǵan regulyar iymek sızıqtıń Frene ushlıgini menen belgileymiz. Sonda biz teńliklerge iye bolamız. Háreketde vektorlardıń skalyar kóbeymesi saqlangani ushın

teńlikler orınlı boladı. Sonday eken, teńlikler de orınlı bolıp tabıladı. Endi teńlikti tastıyıqlaw ushın

funktsiyanı qaraymız. Bul funktsiya ushın teńlik orınlı. Bul funktsiyanı differentsiallaymiz

hám Frene formulalarınan paydalanıp,

teńlikti payda etemiz. Bul jerde bolǵanı ushın. Sonday eken, hám teńlik orınlı boladı. Bunnan teńlikti alamız bul jerde ózgermeytuǵın vektor bolǵanı ushın teńlikten munasábet kelip shıǵadı. Sonday etip, biz munasábetti tastıyıqladık.

Teorema-15. Eki úzliksiz hám funktsiyalar aralıqta anıqlanǵan hám bolsa, tábiy parametr járdeminde parametrlengen regulyar iymek sızıq ámeldegi bolıp, onıń egriligi hám de buralishi uyqas túrde, funktsiyalarǵa teń bolıp tabıladı.

Tastıyıq. Bizge noqat hám ortonormal sistema berilgen bolsın. vektor funktsiyalarǵa salıstırǵanda

differentsial teńlemeler sistemasın

baslanǵısh shártler menen qaraylıq. Differentsial teńlemeler sistemasınıń sheshimi bar ekenligi hám birden-birligi haqqındaǵı teoremaga tiykarınan bul sistemaningoraliqda anıqlanǵan birden-bir sheshimi bar. Baslanǵısh shártlerge tiykarınan bolǵanda bul úshlıq ortonormal sistemanı quraydı. Biz qálegenuchun bul úshlıqtıń ortonormal ekenligin kórsetemiz. Onıń ushın menen birinshi qatarı vektordan, ekinshi qatarı vektordan hám úshinshi qatarı vektordan ibarat matritsani belgilesak, (1) sistemanı

(2)

kóriniste jaza alamız. Bul jerde

Endi vektorlardıń ortonormal sistema ekenligin kórsetiw ushın matritsaning ortogonal matritsa ekenligin kórsetiw jetkilikli bolıp tabıladı. Sonday eken, qálegen ushın

teńlikti tastıyıqlashimiz zárúr hám jetkilikli. Bul jerde transponirlangan matritsa, birlik matritsa bolıp tabıladı.

Biz (2) teńlikten

teńlikti alamız. Bul teńlikti esapqa alıp,

kóbeytpeni differentsiallaymiz. Sonda

teńlikti payda etemiz. Bul teńlikte munasábetti esapqa alıp,

teńlikti payda etemiz. Sonday eken, ózgermeytuǵın matritsa hám bolǵanlıǵı ushın

teńlik hámme s lar ushın orınlı bolıp tabıladı.

Sonday etip, qálegen ushın vektorlar ortonormal sistemanı quraydı. Endi

teńleme menen sızıqtı anıqlaymız. Bul jerde noqattıń radius -vektorı bolıp tabıladı. Bul sızıq ushın

bolǵanlıǵı ushın

munasábet kelip shıǵadı. Sonday eken, bul sızıq ushın buralish anıqlanǵan hám

teńlik orınlı bolıp tabıladı. Sonday eken, sızıq teorema tastıyıǵın qánaatlantıradı. Eger noqat ornına basqa noqat alsaq, biz teorema shártini qánaatlantıratuǵın hám noqattan shıǵıwshı sızıqtı payda etemiz. Lekin, teorema-12 ge kóre, háreket ámeldegi bolıp, boladı. (