Chiziqli tenglamalar sistemasi va ularni yechish usullari. Kronekker-Kapelli teoremasi. Kramer qoidasi mavzusiga doir mashqlar yechish

3-misol. sistema Gauss usuli bilan yechilsin.
Yechish. Birinchi tenglamadagi х oldidagi koeffitsentni 1 ga keltirish maqsadida sistemadagi birinchi va ikkinchi tenglamalarni o’rinlarini almashtirib uni

ko’rinishda yozamiz.
a) sistemaning birinchi tenglamasini –3 ga ko’paytirib sistemaning ikkinchi tenglamasiga qo’shamiz:

b) (5.13) sistemaning birinchi tenglamasini –5 ga ko’paytirib uchinchi tenglamaga qo’shamiz:

Shunday qilib

cistemaga ega bo’lamiz. Bu sistema uch noma‘lumli ikkita tenglamalar sistemasi

ga teng kuchli. Oxirgi sistema esa cheksiz ko’p yechimlarga ega.
4-misol. Ushbu

sistema birgalikdami ?
Yechish. Sistemaning matritsasi

ning rangini topamiz. Matritsaning birinchi va ikkinchi satrlarini qo’shib to’rtinchi satrdan ayiramiz. U holda
  
yoki oxirgi matritsaning birinchi satrini (-3) ga ko’paytirib ikkinchi va uchinchi satrlarning mos elementlariga qo’shsak

bo’ladi. Hosil bo’lgan ekvivalent matritsaning rangi chunki

Demak, A matritsaning rangi ham 3 ga teng;
Kengaytirilgan

matritsaning rangini hisoblaymiz. A matritsadagi singari elementar alamashtirishlarni bajaramiz.
   
Oxirgi ekvivalent matritsaning rangi bo’lishi ravshan. Demak kengaytirilgan matritsaning rangi ham 3 ga teng
5-misol.

sistema birgalikdami?
Yechish. Sistemaning matritsasi A ning rangini hisoblaymiz.
     .
, chunki . Kengaytirilgan matritsaning rangini hisoblaymiz:
=  
, chunki = .
bo’lgani uchun berilgan sistema birgalikda emas.
C) Mustaqil yechish uchun mashqlar.

1.a) b) d)

chiziqli tenglamalar sistemasi Gauss usuli bilan yechilsin.
Javob: a) x=3,y=-1, z=0; b) x=0, y=2, z=1; d) x=5, y=4, z=-2.
2. a) b)
sistemalarning birgalikdaligi yoki aniqmasligi Gauss usuli yordamida tekshirilsin. Javob: a) sistema aniqmas; b) sisitema birgalikda emas.
3.a) b)
sistemalar matritsa usuli yordamida yechilsin.
Javob: a) x=2, y=0, z=-1 b) x=3, y=-1, z=1.