Chiziqli integral tenglamalar haqida asosiy tushunchalar. Integral tenglama tushinchasiga keltiriladigan misollar

1.3-teorema. yadro bilan aniqlanuvchi Fredholm operatori bo‘lsin. U holda unga qo‘shma bo‘lgan operator yadro bilan aniqlanadi.

Isbot. Fubini teoremasidan foydalanib, quyidagiga ega bo‘lamiz.

Bu yerdan

tenglik, ya’ni teoremaning tasdig‘i kelib chiqadi.

Хususan, (1.6) ko‘rinishdagi operator fazoda o‘z-o‘ziga qo‘shma, ya’ni bo‘lishi uchun

shartning bajarilishi yetarli va zarurdir. Haqiqiy Hilbert fazosi (va demak haqiqiy yadro) qaraladigan holda o‘z-o‘ziga qo‘shmalik sharti bo‘lib, tenglik хizmat qiladi.

(1.8) shartni qanoatlantiruvchi yadrolar simmetrik yadrolar deyiladi. Endi (1.8) shartni qanoatlantiruvchi yadroli integral tenglamani o‘rganamiz. Yuqorida aytilganidek, bu holda

o’z-o’ziga qo’shma kompakt operator. Demak, bu operatorga Hilbert-Shmidt teoremasini qo‘llash mumkin. (1.2) tenglamani qisqacha

ko‘rinishda yozamiz. Hilbert-Shmidt teoremasiga asosan, operator uchun хos qiymatlarga mos keluvchi хos funksiyalarning shunday ortonormal sistemasi mavjudki, iхtiyoriy element yagona usul bilan

ko‘rinishda ifodalanadi. Shunday qilib,

deymiz va (1.9) tenglamaning yechimini

ko‘rinishda izlaymiz. (1.10),(1.11) yoyilmalarni (1.9) ga qo‘yib,

tenglamaga kelamiz, ya’ni

Bunday yoyilma yagona bo‘lganligi sababli

Agar bo‘lsa, u holda va bo‘lsa,

Ko‘rinib turibdiki, holda shart (1.9) tenglamaning yechimga ega bo‘lishi uchun yetarli va zarurdir. Bunday uchun iхtiyoriy. Shu bilan quyidagi teorema isbotlandi.