Chiziqli integral tenglamalar haqida asosiy tushunchalar. Integral tenglama tushinchasiga keltiriladigan misollar

1.4-teorema. Agar soni operator uchun хos qiymat bo‘lmasa, u holda (1.9) tenglama iхtiyoriy uchun yagona yechimga ega. Agar soni operator uchun хos qiymat bo‘lsa, u holda (1.9) tenglama yechimga ega bo‘lishi uchun funksiya soniga mos keluvchi barcha хos funksiyalarga ortogonal bo‘lishi yetarli va zarurdir. Bu holda (1.9) tenglama yechimlarining soni cheksizdir.
1.2. Hilbert fazosida

integral tenglama berilgan. Parametr ning qanday qiymatlarida uchun bir soni xos qiymat bo‘ladi?
Yechish. Qaralayotgan integral tenglamaning yadrosi

haqiqiy qiymatli va simmetriklik shartini qanoatlantiradi, ya’ni

Endi xos qiymat uchun tenglama ni qaraymiz, ya’ni:

Agar biz (1.13) da
va
belgilashlarni kiritsak, u holda uchun quyidagi ifodani olamiz:

(1.15) ni (1.14) ga qo‘yib,

tengliklardan foydalansak, va larga nisbatan quyidagi tenglamalar sistemasini olamiz:

Bu tenglamalar sistemasi nolmas yechimga ega bo‘lishi uchun uning determinanti

bo‘lishi zarur va yetarli. (1.17) dan yoki larni olamiz. Demak, parametrning va qiymatlarida uchun 1 soni xos qiymat bo‘ladi. Endi va tenglamalarni yechamiz. Yuqorida bayon qilinganlardan bu tenglamalarning yechimlari mos ravishda va ( ) ekanliklari kelib chiqadi.
1.3. 1.2-misolda qaralgan (1.12) integral tenglamaga bo‘lgan holda 19.4-teoremani qo‘llang va (1.12) integral tenglamani yeching.
Yechish. Agar bo‘lsa, u holda operator uchun bir xos qiymat emas, 1.4-teoremaga ko‘ra, (1.12) integral tenglama yagona yechimga ega. (1.14) belgilashdan foydalansak, (1.12) tenglamani quyidagicha yozishimiz mumkin:

(1.18) ni (1.14) ga qo‘yib, (1.16) tengliklardan foydalansak, va larga nisbatan quyidagi tenglamalar sistemasini olamiz:

Bu sistema da yagona yechimga ega va

va larning bu qiymatlarini (1.18) ga qo‘yib, (1.12) tenglamaning yechimini olamiz: