Chiziqli integral tenglamalar haqida asosiy tushunchalar. Integral tenglama tushinchasiga keltiriladigan misollar

1.4. 1.2-misolda qaralgan tenglamani bo‘lgan holda, ya’ni

tenglamani yeching.
Yechish. Agar bo‘lsa, u holda operator uchun bir xos qiymat bo‘ladi. 1.4-teoremaga ko‘ra, (1.20) tenglama yechimga ega bo‘lishi uchun funksiya tenglamaning barcha yechimlariga, ya’ni ga (1.2-misolga qarang) ortogonal bo‘lishi zarur va yetarli. Demak, (1.20) tenglama yechimga ega bo‘lishi uchun

shartning bajarilishi zarur va yetarli. Agar biz (1.14) belgilashdan foydalansak, (1.20) tenglamani quyidagicha yozishimiz mumkin:

(1.22) ni (1.14) ga qo‘yib, (1.16) va (1.21) tengliklardan foydalansak, va larga nisbatan quyidagi tenglamalar sistemasini olamiz:

Bu yerdan ko‘rinib turibdiki, sifatida ixtiyoriy sonni olish mumkin. Bu qiymatlarni (1.22) ga qo‘yib, (1.20) tenglamaning umumiy yechimini hosil qilamiz:

Bu yerda ixtiyoriy o‘zgarmas son.


Mustaqil ishlash uchun savol va topshiriqlar
Hilbert fazosida

integral operator normasini 1.2-teoremadan foydalanib baholang.
1.3-teoremadan foydalanib, fazoda

integral operatorga qo‘shma operatorni toping.
Hilbert fazosida quyidagi integral tenglamani yeching:

Parametr ning qanday qiymatlarida

integral tenglama ixtiyoriy da yagona yechimga ega bo‘ladi?
Hilbert fazosida

integral tenglama berilgan. Tenglama yechimga ega bo‘ladigan lar to‘plamini tavsiflang. Bu to‘plam qism fazo tashkil qiladimi? Agar u qism fazo tashkil qilsa, uning o‘lchamini toping.