|
Differensial tenglamalarga doir ayrim ko’p parametrli masalarni yechish va yechimlariga mos parametrlar to’plami tahlili
Akbarov U.Y., Vohobjonov A.X.
Ma’lumki, parametrli masalalar deganda ko`pincha parametrga bog`liq algebraik tenglamalar va tengsizliklar tushuniladi. Mavjud adabiyotlar ham asosan shu mavzuga bag`ishlangan[1]. Parametrli differensial tengalamalar esa alohida mavzu sifatida kam o`rganilgan. Matematikada parametrga bоg`liq masalalar ko`lami juda keng ekanligi, ularni fanning bo`limi va mavzulari bo`yicha, parametrlar sоni bo`yicha va bоshqa xususiyatlari bo`yicha sinflashtirish mumkinligi haqida [2] da fikrlar bildirilgan. Unda umumta’lim maktablari darsliklariga asoslangan holda parametrga bog’liq masalalarni yechish ko’nikmalari o’quvchilarga quyi sinflardanoq shakllantirib borilishi ko`rsatilgan. Shu bilan birga ayrim parametrli differensial tengalamar va ularni yechish usullari, yechimlarni parametrga bog`liq tahlillari keltirilgan.
Ushbu maqolada biz [2] da shakllantirilgan parametrga bog`liq differensial tenglamalar ta’riflariga tayangan holda nazariy tushunchalarni yanada kengaytiramiz va parametrli differensial tenglama bilan ifodalanuvchi ayrim tipik amaliy masalani keltiramiz. Aniqroq qilib aytadigan bo`lsak, ikkinchi tartibli uch parametrli ayrim tenglamalar bilan ifodalanuvchi amaliy masalani yechishni va yechimlarga mos parametrlar tahlilini keltiramiz.
tenglamani ko`raylik. Buni ko`rinishda yozish mumkin, bu yerda – o`zgaruvchi koeffisient, . (1) tenglama koeffisienti o`zgarmas bo`lganda ko`pincha erkin tebranish tenglamasini ifodalaydi, ayrim xollarda majburiy tebranishni ham ifodalashi mumkin. Koeffisienti o`zgaruvchan bo`lganda majburiy tebranish tenglamasini yoki bir jinsli bo`lmagan masalalarni ifodalaydi. Amaliyotda bo`lgan xol, ya’ni o`zgaruvchgi koeffisient davriy bo`lgan xol muhim ahamiyatga ega bo`lib, bu xolga mos tebranishlar parametrik tebranishlar ham deyiladi. Bu xolni muhimligi shudaki, (1) tenglamani yechimi unga kirgan doimiylarning ma’lum bir qiymatlarida o`zgarmas amplitudali tebranish bo`lsa, doimiylarning ma’lum bir qiymatlarida vaqt o`tishi bilan amlitudasi cheksiz kattalashuvchi tebranishdan iborat bo`ladi. Vaqt o`tishi bilan amlitudasi cheksiz kattalashuvchi tebranishlar parametrik rezonans deyiladi.
Misol uchun bo`lsin. U xolda (1) tenglama quyidagi ko`rinishda yoziladi
(2).
(2) tenglama Mate tenglamasi deyiladi. Odatda bu tenglamada
deb olib uni quyidagicha yoziladi
(3).
Bu tenglamani yechimini ifodaluvchi funksiyalar Mate funksiyalari deyiladi. Bu yechimlar va parametrlarning oladigan qiymatiga qarab chegaralangan yoki cheksiz o`suvchi bo`lishi mumkin. Bu yechimlar chegarasini aniqlaydigan va parametrlar orasidagi bog`lanishlar tekislikni turg`unlik va noturg`unlik sohaga ajratradi. Bu sohalarni ifodalovchi diagramma Ayns-Strett diagrammasi deyiladi va u quyidagi rasmdagi ko`rinishda bo`ladi. Shtrixlangan soha turg`unlik sohasi bo`ladi.
Turg`unlik va noturg`unlik sohalarini ajratuvchi chiziqlar quyidagi garmonik balans usulidan foydalanib topiladi. (3) tenglamadagi koeffisient 3 ta parametrga bog`liq va davri π ga teng bo`lgan davriy funksiyadir. Qaralayotgan masaladagi harakat davri 2π ga teng bo`lgan harakat bo’lgani uchun tenglama yechimini umumiy holda
ko`rinishda qidiramiz. Bundan ikki marta hosila olib (3) tengamaga qo`yamiz. Natijada hosil bo`ladiga trigonometrik funksiyalar ko`paytmalari uchun
formulalardan foydalanamiz va lar oldidagi koeffisientlarni nolga tenglab turg`unlik va noturg`unlik sohalarini ajratuvchi chiziqlar tenglamalarini topamiz.
Avvalo birinchi noturg`unlik sohasini topishni ko`ramiz. Buning uchun yechimni
ko`rinishda qidiramiz. U holda bo`ladi.
Bularni (3) teglamaga qo`yamiz
.
Bundan
.
va
tengliklardan foydalanamiz hamda uchlangan chastotali hadlarni tashlab yuboramiz.
Natijada
hosil bo`ladi. U holda
yoki
tenglamalar birinchi noturg`unlik sohasi chegaralarini ifodalaydi. Rasmdagi bo`yalgan soha birinchi noturg`unlik sohasi bo`ladi.
Agar masalani umumiy holda yechadigan bo`lsak lar oldidagi koeffisientlarni nolga tenglab turg`unlik va noturg`unlik sohalarini ajratuvchi chiziqlar tenglamalarini quyidagicha topamiz [ 3,4]
Agar bularni bitta tekislikda tasvirlasak, yuqoridagi rasm hosil bo`ladi. Bu sistemada ni ikki va undan yuqori darajalari qatnashgan hadlarni tashlab yuborsak, sistemadagi ikkinchi va uchinchi tenglamalar qolib, ular birinchi noturg`unlik sohasi chegaralarini ifodalovchi chiziqlardan iborat bo`ladi.
Adabiyotlar.
Горнштейн П.И. Задачи с параметрами. - К . : РИА «Текст»; МП «ОКО», 1992. – 200.
Akbarov U.Y., Sodiqov Z.X. Ikkinchi tartibli uch parametrli ayrim differensial tenglamalar.//SCIENCE AND EDUCATION. SCIENTIFIC JOURNAL. -2020, №1, P. 39-44
Пановко Я.Г. Введение в теорию механических колебаний. – М.: Наука, 1980. – 272 с.
Пановко Я.Г. Устойчивость и колебания упругих систем. – М.: Наука, 1987. – 352 с.
Do'stlaringiz bilan baham: | 
