Chiziqli integral tenglamalar haqida asosiy tushunchalar. Integral tenglama tushinchasiga keltiriladigan misollar

1.1-teorema (Fubini). Agar funksiya kvadratda integrallanuvchi bo‘lsa, u holda deyarli barcha larda

integral mavjud va quyidagilar o‘rinli

1.2-teorema. Agar yadro (1.5) shartni qanoatlantirsa, u holda fazoda (1.6) tenglik bilan aniqlanuvchi operator chiziqli, kompakt va
(1.7)
tengsizlik o‘rinli.
Isbot. Avvalo shuni ta’kidlaymizki, Fubini teoremasi va (1.5) shartga ko‘ra, deyarli barcha lar uchun

integral mavjud. Boshqacha aytganda, funksiya ning funksiyasi sifatida deyarli barcha larda fazoga qarashli. Kvadrati bilan integrallanuvchi funksiyalarning ko‘paytmasi integrallanuvchi bo‘lgani uchun, (1.6) ning o‘ng tomonidagi integral deyarli barcha lar uchun mavjud, ya’ni funksiya deyarli hamma yerda aniqlangan. ekanligini ko‘rsatamiz. Koshi-Bunyakovskiy tengsizligiga ko‘ra, deyarli barcha lar uchun

tengsizlikni olamiz. Oхirgi ifodani dan gacha bo‘yicha integrallab va dan takroriy integralni ikki karrali integralga almashtirib, quyidagi tengsizlikka ega bo‘lamiz
.
Bu yerdan ning integrallanuvchanligi va (1.7) tengsizlik kelib chiqadi. Endi operatorning kompaktligini ko‘rsatish qoldi. sistema fazoda to‘la ortonormal sistema bo‘lsin. U holda ko‘paytmalar sistemasi fazoda to‘la ortonormal sistemani tashkil qiladi va demak,

yoyilma o‘rinli. Endi

deymiz. Bu yadroga mos Fredholm operatorini bilan belgilaymiz. Bu operator kompakt, chunki u chegaralangan va fazoni chekli - o‘lchamli qism fazoga akslantiradi. Haqiqatan ham, iхtiyoriy uchun

bu yerda . Demak, operator fazoni funksiyalarning chiziqli qobig‘i bo‘lgan - o‘lchamli qism fazoga akslantiradi.
funksiya funksiyaning sistema bo‘yicha Fur’e qatorining qismiy yig‘indisidan iborat. Shuning uchun, da

Endi (19.7) tengsizlikni operatorga qo‘llasak,

Shunday qilib, kompakt operatorlar ketma-ketligi norma bo‘yicha operatorga yaqinlashadi. Kompakt operatorlarning asosiy xossalari mavzusidagi 1.1-natijaga asosan ham kompakt operator bo‘ladi.