Chiziqli bir jinsli boʻlmagan birinchi tartibli differensial tenglama

Misol 3.

1. 
   Oʻng tomonda y dan qutulish kerak.
   

2. 
   Konturga olingan qoʻshiluvchida y dan qutulish kerak, buning uchun almashtirish bajaramiz.
   
3. 
   
   

Natijada Bernulli differensial tenglamasidan chiziqli bir jinsli boʻlmagan birinchi tartibli differensial tenglamaga kelamiz. Bunday tenglamalarni yechish usullarini esa bilamiz.

3. Birinchi tartibli differensial tenglamalar nazariyasining geometrik masalalarga tadbiqlari

Misol.
A(α;α) nuqtadan o’tuvchi va quyidagi xossaga ega bo’lgan egri chiziqning tenglamasini tuzing: agar egri chiziqning PM ordinatali istalgan M(x;y) nuqtasidan Oy o’qning T nuqtasi bilan kesishguncha urinma o’tkazilsa, OTMP trapetsiyaning yuzi o’zgarmas bo’lib, ga teng bo’ladi.
Yechilishi. Trapetsiya yuzi *OP formula bo’yicha aniqlanadi. OT=y-xy’ , PM=y va OP=x bo’lgani uchun differensial tenglama quyidagi ko’rinishda bo’ladi:
( 2y - xy’ ) x = 2
Yoki
y’- y = -
Bu chiziqli tenglama. Uning umumiy yechimini shu formula bo’yicha topamiz:
y = ( - 2 dx + C ) .
bu yerdan
y = ( -2 + C ), yoki y = + C ).
Binobarin,
y = + C .
Umumiy yechimga x boshlang’ich shartni qo’yib ,
C = ni topamiz , y xolda izlanayotgan egri chiziq, temglamasi ushbu ko’rinishda bo’ladi:
Ordinatasi OP = x - . Differensial tenglama ushbu ko’rinishga ega :
(x - ) y = 4
Yoki
- x =
Bu y argumentining noma’lum x funksiyasiga nisbatan chizizqli differensial tenglama. Umumiy integrtali shu formula bo’yicha topamiz:
x = (-4 dy + C ) yoki x = y ( + C ).
x = 2 da y = -2, demak C = - . Natijada egri chiziqning izlanayotgan tenglamasini ushbu ko’rinishda xosil qilamiz:
3 + 2xy – 4 = 0
Misol . Koordinatalar boshidan o’tuvchi shunday egri chiziq tenglamasini tuzungki, uning normalining egri chiziq istalgan nuqtasidan Ox o’qachcha bo’lgan kesmaning o’rtasi = ax parabolada yotadi.
Yechilishi. Egri chiziqda ixtiyoriy M (x ; y ) nuqta olamiz . Egri chiziqning M nuqtasiga o’tkazilgan normalning Ox o’q bilan kesishish nuqtasi x + yy’ va O koordinatalarga , normal kesmasi MP ning o’rtasi N esa = x + va = koordinatalarga ega. N nuqta = ax parobolada yotganligi uchun uning koordinatalari parobala tenglamasini qanotlantiradi, natijada
)
Yoki
y’ - = -
Differensial tenglama tuziladi. Bu Bernulli tenglamasidir ( n = -1 ). Uni 2yy’ - = -4x ko’rinishda qayta yozamiz va deymiz, mos ravishda 2yy’ = z’ . Tenglama chiziqli ko’rinishga keladi:
- = -4x
Uning umumiy yechimini shu formula bo’yicha yozamiz:
z = ( -4 dx + C )
so’ngra
dx = -
Bo’lgani uchun
z = =
yoki
= 4ax + 4 + C
X = 0 da Y = 0 boshlang’ich shartdan C = -4 ni topamiz. Egri chiziqning izlanayotgan tenglamasi ushbu ko’rinishda bo’ladi:
= 4ax + 4 ( 1 - ) .