Числовые ряды

Замечание 1. Если , то ряд расходится.
Замечание 2. Если , то рекомендуется рассмотреть другие признаки сходимости.
5⁰. Радикальный признак Коши.
Пусть для ряда с положительными членами существует предел .
Тогда если 0 , то ряд сходится;
если , то ряд расходится.
При сказать о поведении ряда ничего нельзя.


Доказательство. Если 0 , то общий член нашего ряда будет меньше общего члена бесконечного геометрического ряда, который сходится при . Следовательно, наш ряд при сходится.
Если , то = равносильно или для всех n. Из свойств сходимости ряда общий член должен стремиться к нулю при . Следовательно, ряд расходится.


6⁰. Признак Раабе.
Пусть для ряда с положительными членами существует предел .
Тогда, если , то ряд расходится;
если , то ряд сходится;
если , то вопрос о сходимости ряда остается открытым.
Пример 5.
Исследовать сходимость ряда .
Члены этого ряда положительны, тогда воспользуемся признаком Даламбера: = =3 =3 =
=3 = 3 = >1, т.е. ряд расходится.
Пример 6.
Исследовать сходимость ряда .
Члены этого ряда положительны, тогда воспользуемся признаком Даламбера: = = <1.
Ряд сходится.
Пример 7.
Исследовать сходимость ряда .
Члены этого ряда положительны, т.к. 0< при любом n и
( т.к. при ). Тогда воспользуемся признаком сравнения со сходящимся геометрическим рядом при q = .
Ряд сходится.
Пример 8.
Исследовать сходимость ряда .
Члены этого ряда положительны, тогда воспользуемся радикальным признаком Коши:
= 0<1,
ряд сходится.
Пример 9.
Исследовать сходимость ряда .
Члены этого ряда положительны, воспользуемся признаком Рабе.
Пусть р=0. Тогда ряд расходится.
Пусть р=1. Тогда , поведение ряда неизвестно.
Рассмотрим признак Даламбера при р=1: =e e . В этом случае ничего нельзя сказать о сходимости ряда.

Пусть р=2.По признаку Раабе = n = n , ряд сходится.

Пример 10.
Исследовать сходимость ряда:
Члены этого ряда положительны, тогда воспользуемся признаком сравнения с гармоническим рядом , мысленно отбросив первый член, равный 1. Т.к. ,
то из расходимости гармонического ряда следует расходимость данного ряда.