Числовые ряды

4⁰. Из свойства 3⁰ вытекает необходимый признак сходимости ряда.


Теорема. Если ряд сходится, то предел его общего члена u_n при n равен нулю, т.е. u_n = 0.
Доказательство. , или , т.к. ряд сходится, то = = , поэтому = - = .


Замечание. Теорема выражает необходимый, но не достаточный признак сходимости ряда: т.е. если u_n = 0 , то из этого не следует обязательная сходимость ряда. Ниже будет приведен пример ряда (гармонического ряда),
у которого предел общего члена u_n при n равен нулю, т.е. u_n = 0 ,
а ряд расходится.


Следствие из свойства 4⁰ – достаточный признак расходимости ряда:
Если предел общего члена ряда u₁+u₂+…+u_n+… при n не равен нулю, т.е. u_n 0 , то ряд расходится.
Доказательство. Предположим противное, т.е. ряд сходится. Тогда по теореме свойства 4⁰ u_n = 0, что противоречит условию. Следовательно, исходный ряд расходится.

Рассмотрим гармонический ряд = 1+ .

Для этого ряда u_n = .
Покажем, что ряд расходится.
Рассмотрим частичную сумму
и частичную сумму .
= , заменим в выражении каждое слагаемое наименьшим , (т.к. ) , получим > .

Предположим, что ряд сходится, тогда = = S, . Но у нас получилось, что ( ) = 0 . Пришли к противоречию, наше предположение неверно, следовательно, гармонический ряд расходится.