Числовые ряды

1. Геометрический ряд .
Сходится при и расходится при .
2. Гармонический ряд . Расходящийся ряд.
3. Обобщенный гармонический ряд .
Ряд сходится, если .
Ряд расходится, если .
Пример 4.
Найти сумму ряда = .
Частичная сумма ряда .
, т.е. сумма ряда .

Этот ряд можно использовать для доказательства сходимости обобщенного гармонического ряда (при , т.к. .

4⁰. Признак Даламбера.
Пусть для ряда с положительными членами существует предел отношения (n+1)-го к n-му члену .
Тогда, если , то ряд сходится;
если , то ряд расходится;
если , то вопрос о сходимости ряда остается нерешенным.


Доказательство. Из определения предела последовательности следует, что для любого существует такой номер N, что для всех n>N выполняется неравенство или .

1. 
   Рассмотрим эти неравенства при . Выберем настолько малым, что число , т.е. или . Последнее неравенство будет выполняться для всех n>N , т.е. для :
   

,
……………………………
.
Получим, что члены ряда будут меньше членов геометрического ряда , сходящегося при . На основании ранее рассмотренного признака о сравнении рядов этот ряд сходится, а значит, сходится и ряд , который отличается от полученного на первые членов.

2. 
   Пусть . Возьмем настолько малым , что .Тогда из условия следует, что или , а это означает, что члены ряда возрастают, начиная с номера , поэтому предел общего члена не равен нулю, т.е. не выполняется необходимый признак сходимости. Ряд расходится.