Числовые ряды

Достаточные признаки сходимости.
Будем рассматривать ряды с положительными членами .
1⁰. Признак сравнения.
Пусть даны два ряда с положительными членами: (1) и (2),
причем . Тогда: 1. если сходится ряд (2) , то сходится ряд (1) ;
2. если расходится ряд (1), то расходится ряд (2).


Доказательство. 1. Пусть частичные суммы рядов (1) и (2) соответственно равны s и S . По условию ряд (2) сходится, т.е. существует предел = S
и s S , т.к. члены ряда положительны. Рассмотрим последовательность частичных сумм ряда (1). Эта последовательность будет возрастающей, т.к. , , и ограниченной в силу условия , т.е. s .
Следовательно, последовательность частичных сумм (1) ряда имеет предел, т.е. ряд (1) сходится.
2. Для доказательства второго положения применим метод от противного: предположим, что ряд(2) сходится. Тогда согласно первой части свойства 1⁰ ряд (1) должен сходиться, но это противоречит условию. Следовательно, наше предположение не верно, и ряд (2) расходится.


Замечание. Т.к. сходимость ряда не изменится при отбрасывании конечного числа членов ряда, то условие необязательно должно выполняться с первых членов рядов и только для членов с одинаковыми номерами n . Достаточно, чтобы оно выполнялось, начиная с некоторого номера , или чтобы имело место неравенство , где m некоторое целое число.
2⁰. Предельный признак сравнения.
Если для двух рядов (1) и (2) с положительными членами существует конечный предел отношения их общих членов , то ряды одновременно сходятся и расходятся.


Доказательство. Т.к. , то по определению предела числовой последовательности для любого существует такой номер N, что для всех n > N выполняется неравенство или , откуда получим . Ряд = . Тогда если сходится ряд , то сходится ряд , в силу признака сравнения 1⁰ будет сходится и ряд .
Если сходится ряд , то будет сходиться ряд = и ряд .
Утверждение о расходимости рядов доказывается аналогично.
Пусть расходится ряд . Тогда расходится ряд = , следовательно, расходится ряд .

Пусть расходится ряд . Тогда расходится ряд = , следовательно, расходится ряд .