Численные методы линейной алгебры

ЗАДАНИЯ К ГЛАВЕ 4


Тестовые примеры
Здесь приведены 10 примеров, которые могут быть использованы при предварительной отладке программ, составленных с применением различных численных методов решения задач на собственные значения.

1. 
   Найти все собственные значения на основе классического метода Якоби:
   

А= . Ответ:

2. 
   Найти все собственные значения на основе барьерного метода Якоби:
   

А= . Ответ:

3. 
   Найти все собственные значения с применением экономической стратегии выбора аннулируемого элемента:
   

А= . Ответ:

4. 
   Найти все собственные значения и соответствующие им собственные вектора методом итерации:
   

А= . Ответ: х₁= , х₂= , х₃= ,
где с₁, с₂, с₃ – произвольные постоянные, отличные от нуля.

5. 
   Найти максимальное по модулю собственное значение с применением степенного метода:
   

А= . Ответ: _max=2.3227488.

6. 
   Найти минимальное по модулю собственное значение с применением обратного степенного метода:
   

А= . Ответ: _min=-1.096595.

7. 
   Найти минимальное по модулю собственное значение с применением обратного степенного метода со сдвигом:
   

А= .
Ответ: _min=0.24226071.

8. 
   Найти все собственные значения с применением
   

QL – алгоритма:
А= .
Ответ: ₁=-17.86303, ₂=-17.15266, ₃=-7.57404, ₄=-5.2987.

9. 
   Найти все собственные значения с применением
   

QR – алгоритма:
А= .
Ответ: ₁=1, ₂=2/3, ₃=4/9, ₄=1/3.

10. 
    Решить обобщенную задачу на собственные значения:
    

А= , В= .
Ответ:

к	Ах=Вх	Вх=Ах
1	0.4327872	0.6700826
2	0.6636627	0.90148196
3	0.9438590	1.0594803
4	1.1092845	1.5067894
5	1.4923532	2.3106043

Задание для индивидуального выполнения

Ниже приводится задание, которое может принимать различные варианты. Варианты, в свою очередь, могут использоваться в качестве задания при реализации разных методов. Здесь , при b_i=0 и i=0 собственные значения матрицы A_i равны: 81, 9, -3, -6, -27, -54.

Различие вариантов достигается выбором i и b_i , например, b_i= . Тогда собственные значения матрицы A_i будут примерно равными: 81+i, 9+i, -3+i, -6+i, -27+i, -54+i.

A_i= .