Cheksiz kichik va cheksiz katta miqdorlar, ularning xossalari. Limitlar haqida asosiy teoremalar. Ajoyib limitlar

CHEKSIZ KICHIK VA CHEKSIZ KATTA MIQDORLAR, ULARNING XOSSALARI. LIMITLAR HAQIDA ASOSIY TEOREMALAR. AJOYIB LIMITLAR.
REJA:

1. 
   Cheksiz kichik va cheksiz katta miqdorlar, ularning xossalari.
   
2. 
   Cheksiz kichik miqdorlarni taqqoslash, ularning xossalari.
   
3. 
   Limitlar haqida asosiy teoremalar. Birinchi va ikkinchi ajoyib limitlar.
   

Cheksiz kichik va cheksiz katta miqdorlar, ularning xossalari. Cheksiz kichik miqdorlarni taqqoslash, ularning xossalari. Limitlar haqida asosiy teoremalar. Birinchi va ikkinchi ajoyib limitlar.

Cheksiz kichik miqdorlar va ularning xossalari. Limitlarga doir turli tasdiqlarni isbotlashda cheksiz kichik miqdor va ularning xossalari muhim ahamiyatga ega.
Ta'rif.Agar (х) funksiya uchun

shart bajarilsa, unda bu funksiya ха (a−ixtiyoriy chekli yoki cheksiz son) bo‘lganda cheksiz kichik miqdor dеb ataladi .
Masalan, (х)=x² funksiya х0, (х)=(x−3)² funksiya х3 va (х)=x⁻² funksiya х±∞ bo‘lganda cheksiz kichik miqdor bo‘ladi.
3-TEOREMA: Agar ха bo‘lganda (х) vа (х) cheksiz kichik miqdorlar bo‘lib, f(x) esa ixtiyoriy chegaralangan funksiya bo‘lsa, u holda ха bo‘lganda (x)(х), (x)∙(х), f(x)∙(х), С(x) (С=сonst, ya’ni o‘zgarmas son) funksiyalar ham cheksiz kichik miqdorlar bo‘ladi.
Isbot: ха bo‘lganda (x) vа (х) cheksiz kichik miqdorlar, ya’ni

bo‘lgani uchun, limit ta’rifiga asosan, ixtiyoriy kichik >0 soni uchun shunday >0 soni topiladiki, 0<|x-a|< shartda |(x)|</2, |(x)|</2 tеngsizliklar bir paytda
o‘rinli bo‘ladi. Agar |f(x)|≤M (M– biror chekli son) bo‘lsa, unda 0<|x-a|< shartda
|(x)(х)| |(x)|+|(х)| <(/2)+(/2)=,
|(x)∙(х)|= |(x)|∙|(х)| <(/2)∙(/2)=²/4,
|f(x)∙ (х)|= |f(x)|∙|(х)|<|M|/2 , |C(х)|=|C|∙|(x)|<|C|/2
tengsizliklar o‘rinli bo‘ladi. Bu tengsizliklar va funksiya limiti ta’rifiga asosan


natijalarni olamiz. Bu yerdan, cheksiz kichik miqdor ta’rifiga asosan, tеorеma isboti kelib chiqadi.
NATIJA: Chekli sondagi cheksiz kichik miqdorlarning algebraik yig‘indisi, ko‘paytmasi yana cheksiz kichik miqdordan iborat bo‘ladi.
Bu natijaning isboti oldingi tеorеmani bir nеcha marta qo‘llash orqali keltirib chiqariladi.
Izoh: Agar ха bo‘lganda (х) vа (х) cheksiz kichik miqdorlar bo‘lsa, unda
ularning nisbati (х)/(х) cheksiz kichik miqdor bo‘lishi shart emas.
Masalan, х0 bo‘lganda (х)=Axⁿ vа (х)= Bx^m (n,m–natural, A,B– noldan farqli ixtiyoriy haqiqiy sonlar) cheksiz kichik miqdorlar bo‘ladi va

Bu yerdan ko‘rinadiki, yuqoridagi misolda (х)/(х) nisbat faqat n>m bo‘lganda cheksiz kichik miqdor bo‘ladi.
Ta'rif. ха bo‘lganda (х) vа (х) cheksiz kichik miqdorlar va

bo‘lsin. Bunda A=0 bo‘lsa, (х) ха bo‘lganda (х) ga nisbatan yuqori tartibli cheksiz kichik miqdor deyiladi va (х)=o((х)) kabi belgilanadi. Agar A≠0 va chekli son bo‘lsa, unda (х) vа (х) bir xil tartibli cheksiz kichik miqdorlar deyiladi va (х)=0((х)) kabi belgilanadi. Jumladan A=1 bo‘lsa (х) vа (х) ekvivalent cheksiz kichik miqdorlar deyiladi va (х)~(х) kabi belgilanadi. Agar A=±∞ bo‘lsa, (х) ха bo‘lganda (х) ga nisbatan quyi tartibli cheksiz kichik miqdor deyiladi va (х)=o((х)) kabi belgilanadi.