Cheksiz kichik va cheksiz katta miqdorlar, ularning xossalari. Limitlar haqida asosiy teoremalar. Ajoyib limitlar

Cheksiz katta miqdorlar. Endi cheksiz katta miqdor tushunchasi va uning xossalari bilan tanishamiz.
Ta'rif. Agar f(х) funksiya uchun shart bajarilsa, unda bu funksiya ха (a−ixtiyoriy chekli yoki cheksiz son) bo‘lganda cheksiz katta miqdor dеb ataladi .
Masalan, f(х)=tgx funksiya хπ/2, f(х)=(x−1)^–3 funksiya х1 va f(х)=x² funksiya х±∞ bo‘lganda cheksiz katta miqdor bo‘ladi.
4-TEOREMA: Agar f(х) va g(x) funksiyalar x→a bo‘lganda cheksiz katta miqdorlar bo‘lsa, unda x→a shartda quyidagi tasdiqlar o‘rinlidir:
1) |f(х)|+|g(x)| va f(х)∙g(x) cheksiz katta miqdor bo‘ladi;
2) Agar bo‘lsa, unda f(х)∙h(x) va f(х)/h(x) cheksiz katta miqdor bo‘ladi;
3) Ixtiyoriy C o‘zgarmas soni va chegaralangan φ(x) funksiya uchun Cf(x) va φ(x)f(x) funksiyalar cheksiz katta miqdor bo‘ladi.
Teoremaning isboti bevosita 8-ta’rifdan kelib chiqadi va uning ustida to‘xtalib o‘tirmaymiz.
Izoh: Yuqoridagi teorema shartlarida |f(х)|–|g(x)| va f(х)/g(x) funksiyalar cheksiz katta miqdor bo‘lishi shart emas. Bu funksiyalar x→a bo‘lganda mos ravishda ∞−∞ va ∞/∞ ko‘rinishdagi aniqmasliklar deyiladi va ular kelgusida(VIII bob, §6) to‘liqroq ko‘rib chiqiladi.
Cheksiz katta va cheksiz kichik miqdorlar orasidagi bog‘lanish quyidagi teorema orqali ifodalanadi.
5-TEOREMA: Agar f(х) funksiya x→a bo‘lganda cheksiz katta miqdor bo‘lsa, unda shu holda 1/f(x) funksiya cheksiz kichik miqdor bo‘ladi. Aksincha, agar α(х) funksiya x→a bo‘lganda cheksiz kichik miqdor bo‘lsa, unda shu holda 1/α(x) funksiya cheksiz katta miqdor bo‘ladi.
Bu teoremani ham isbotsiz qabul etamiz. Masalan, f(х)=(x−1)^–3 funksiya х1 bo‘lganda cheksiz katta miqdor, α(х)=1/f(x)=(x−1)³ funksiya esa х1 bo‘lganda cheksiz kichik miqdor bo‘ladi. Shu sababli kelgusida biz asosan cheksiz kichik miqdorlar bilan ish ko‘ramiz.