Боб. Кўп ўзгарувчили функциянинг юқори тартибли ҳосила ва дифференциаллари

1-таъриф. Агар

лимит мавжуд бўлса, бу лимит функциянинг нуқтадаги йўналиш бўйича ҳосила дейилади. Уни
ёки
каби белгиланади. Демак,
.
1-мисол. Ушбу

функциянинг нуқтада барча йўналишлар бўича ҳосилаларининг мавжудлиги кўрсатилган.
Айтайлик, бўлсин. Бу ҳолда

бўлиб,


бўлади. Унда берилган функцининг нуқтадаги бўлган ихтиёрий йўналиш бўйича ҳосиласи, таърифга биноан

бўлади.
Агар бўлса, унда бўлиб,

бўлади.
Агар бўлса, унда бўлиб,

бўлади.
Айтайлик, бўлсин. Бу ҳолда бўлиб, бу йўналишлар бўйича ҳосила



бўлади.
1-теорема. Агар функция нуқтада дифференциалланувчи бўлса, у ҳолда функция шу нуқтада ҳар қандай йўналиш бўйича ҳосилага эга ва
(5)
бўлади.
Айтайлик, функция нуқтада диф-ференциалланувчи бўлсин. У ҳолда

орттирма учун

бўлади, бунда

.
Кейинги тенгликнинг ҳар икки томонини га бўламиз:
.
Маълумки,
.
Шуни эътиборга олиб, да лимитга ўтиб топамиз:
.
Демак,
.►
2-мисол. Ушбу

функциянинг нуқтада вектор йўналиш бўйича ҳосиласи топилсин.
Равшанки, бу ҳолда
,


бўлади. (5) формуладан фойдаланиб топамиз:
.►
Фараз қилайлик, функция очиқ тўпламда дифференциалланувчи бўлсин. Бинобарин, функция тўпламнинг ҳар бир нуқтасида

хусусий ҳосилаларга эга бўлади. Координаталари шу хусусий ҳосилалардан иборат бўлган векторни тузамиз:
(6)
бунда, ва координата ўқлари бўйича йўналган бирлик векторлар. (6) вектор функциянинг градиенти дейилади ва каби белгиланади:
.
Демак, тўпламнинг ҳар бир нуқтасига битта

векторни мос қўювчи қоида, бошқача айтганда икки ўзгарувчили вектор функция бўлади.

функциянинг вектор йўналиши бўйича ҳосиласини унинг градиенти орқали ифодалаш мумкин. Ҳақиқатан ҳам, ва векторларнинг скаляр кўпайтмаси
(7)
бўлиб, у (5) формулага кўра га тенг бўлади:
.
Айни пайтда, ва векторларнинг скаляр кўпайтмаси шу вектор узунликлари кўпайтмасини улар орасидаги бурчак косинусига кўпайтирилганига тенг бўлади:
(8)
Равшанки, .
(7) ва (8) муносабатлардан

бўлиши келиб чиқади.

Кейинги тенгликдан кўринадики, ҳамда векторлар параллел бўлганда нинг қиймати энг катта ва у

га тенг бўлади.
Шундай қилиб, функциянинг градиенти функциянинг нуқтадаги энг тез ўсадиган томонга йўналган бўлиб, унинг узунлиги шу йўналиш бўйича ўсиш тезлигига тенг экан.
3-мисол. Ушбу

функциянинг нуқтада энг тез ўсадиган йўналиши аниқлансин ва шу йўналиш бўйича ўсиш тезлиги топилсин.
Равшанки,


бўлиб,



бўлади.