Боб. Кўп ўзгарувчили функциянинг юқори тартибли ҳосила ва дифференциаллари

1.2. Юқори тартибли дифференциалар. Фараз қилайлик, функция очиқ тўпламда берилган, нуқтада икки марта дифференциалланувчи бўлсин.
1-таъриф. функция дифференциали нинг дифференциали берилган функциянинг нуқтадаги иккинчи тартибли дифференциали дейилади ва каби белгиланади:
.
Энди функция иккинчи тартибли дифференциалини унинг хусусий ҳосилалари орқали ифодаланишини кўрсатамиз.
Равшанки,

бўлиб, у га ҳамда ларга боғлиқ бўлади. Бу тенгликда ларни тайинланган деб ҳисоблаб, ни ўзгарувчиларнинг функцияси сифтаида қараб, унинг дифференциалини топамиз:



Бунда символлик равишда ёзилишидан фойдаланилади. У қуйидагича тушунилади: қавс ичидаги йиғинди квадратга кўтарилиб, сўнг га "кўпайтирилади". Кейин даража

кўрсаткичлари хусусий ҳосилалар тартиби деб ҳисобланади. Демак,

. (1)
функциянинг нуқтадаги учинчи, тўртинчи ва ҳ.к. тартибдаги дифференциаллари ҳам юқоридагидек таърифланади.
Умуман, функциянинг нуқтадаги -тартибли дифференциали нинг дифференциали нинг -тартибли дифференциали дейилади ва каби белгиланади:
.
Агар, функция нуқтада марта дифференциаланувчи бўлса, у ҳолда
(2)
бўлади.
Биз юқорида функциянинг юқори тартибли дифференцалларини баён этдик. Унда функция аргументи лар эркли ўзгарувчилар эди.
Айтайлик, функцияда
ўзгарувчиларнинг ҳар бири ўзгарувчиларнинг функциялари бўлсин .
Қаралаётган ва функциялар марта дифференциалланувчилик шартларини бажарган деб, мураккаб функциянинг юқори тартибли дифферен-циалларини ҳисоблаймиз.
Маълумки, дифференциал шаклнинг инвариантлиги хоссасига биноан, мураккаб функциянинг дифференциали

бўлади. Дифференциаллаш қоидаларидан фойдаланиб функциянинг иккинчи тартибли дифференциалини топамиз:







.
Демак,
(3)
Шу йўл билан берилган мураккаб функциянинг кейинги тартибдаги дифференциаллари топилади.