Боб. Кўп ўзгарувчили функциянинг юқори тартибли ҳосила ва дифференциаллари

1-эслатма. (1) ва (3) формулаларни солиштириб, иккинчи тартибли дифференциаларда дифференциал шаклнинг инвариантлиги хоссаси ўринли эмаслигии кўрамиз.
2-эслатма. Агар функция аргументлари ларнинг ҳар бири ўзгарувчиларнинг чизиқли функцияси бўлса, у ҳолда функциянинг иккинчи тартибли (умуман, -тартибли) дифференциали дифференциал шаклнинг инвариантлик хоссасига эга бўлади.
Айтайлик,

бўлсин. У ҳолда, равшанки,

бўлиб,

бўлади. (3) формуладан фойдаланиб топамиз:
.
Бу эса нинг (1) формула кўринишига эга эканлигини билдиради.

II . Ўрта қиймат ҳақида теорема.
2.1. Ўрта қиймат ҳақида теорема. Фараз қилайлик, функция тўпламда берилган бўлсин. Бу тўпламда шундай

нуқталарни қараймизки, бу нуқталарни бирлаштирувчи тўғри чизиқ кесмаси тўпламга тегишли бўлсин.
Равшанки, бу кесма ушбу

нуқталар тўплами билан ифодаланади: .
1-теорема. Агар функция кесманинг ва нуқталарида узлуксиз бўлиб, кесманинг қолган барча нуқталарида дифференциалланувчи бўлса, у ҳолда кесмада шундай нуқта топиладики,
(1)
бўлади.
функция кесмада қуйидаги

кўринишда бўлади. Бу ўзгарувчининг функциясини билан белгилайлик:

Равшанки, функция сегментда узлуксиз бўлиб, да

ҳосилага эга бўлади. Бунда хусусий ҳосилаларнинг

нуқтадаги қийматлари олинган.
Лагранж теоремасидан фойдаланиб топамиз:
(2)
Агар
(3)
ҳамда
(4)
бўлишини эътиборга олсак, сўнг ушбу

белгилашларини бажарсак, унда

бўлиб, (2), (3) ва (4) муносабатлардан

бўлиши келиб чиқади.►
Одатда, (1) формула Лагранжнинг чекли орттирмалар формуласи дейилади.