Боб. Кўп ўзгарувчили функциянинг юқори тартибли ҳосила ва дифференциаллари

Кўп ўзгарувчили функциянинг юқори тартибли ҳосила ва дифференциаллари. Ўрта қиймат ҳақида теорема

Режа:
Кириш:

1. 
   БОБ . Кўп ўзгарувчили функциянинг юқори тартибли ҳосила ва дифференциаллари.
   
   1. 
      Кўп ўзгарувчили функциянинг юқори тартибли ҳосилалари
      
   2. 
      Кўп ўзгарувчили функциянинг юқори тартибли дифференциаллари
      

II.БОБ. Ўрта қиймат ҳақида теорема
2.1. Ўрта қиймат ҳақида теорема
Хулоса
Илова

Кўп ўзгарувчили функциянинг юқори тартибли ҳосила ва дифференциаллари. Ўрта қиймат ҳақида теорема.

1.1. Юқори тартибли хусусий ҳосилалар. Фараз қилайлик, функция очиқ тўпламнинг ҳар бир нуқтасида

хусусий ҳосилаларга эга бўлсин. Бу хусусий ҳосилалар ўзгарувчиларнинг функцияси бўлиб, улар ҳам хусусий ҳосилаларга эга бўлиши мумкин:
.
Бу хусусий ҳосилалар берилган функциянинг иккинчи тартибли хусусий ҳосилалари дейилади ва

каби белгиланади:
.
Агар бўлса,

иккинчи тартибли хусусий ҳосила аралаш ҳосила дейилади.

Агар бўлса, иккинчи тартибли хусусий ҳосилалар

қуйидагича

ёзилади.
функциянинг учинчи, тўртинчи ва ҳ.к. тартибдаги хусусий ҳосилалари худди юқоридагига ўхшаш таъриф-ланади. Умуман, функциянинг ўзгарувчилари бўйича -тартибли хусусий ҳосиласи берилган функциянинг – тартибли хусусий ҳосиласи

нинг ўзгарувчи бўйича хусусий ҳосиласи сифатида таърифланади:
.
Бу ҳолда ҳам лар бир-бирига тенг бўлмаганда

аралаш ҳосила дейилади.
Агар бўлса, – тартибли хусусий ҳосила-лар қуйидагича

ёзилади. Ушбу

аралаш ҳосилалар функциянинг турли ўзгарувчилари бўйича дифференциаллаш тартиби билан фарқ қилади:

да функциянинг аввал ўзгарувчиси бўйича, сўнг ўзгарувчиси бўйича хусусий ҳосиласи ҳисобланган бўлса,

да эса аввал ўзгарувчиси бўйича, сўнг ўзгарувчиси бўйича хусусий ҳосиласи ҳисобланган. Улар бир-бирига тенг ҳам бўлиши мумкин, тенг бўлмасдан қолиши ҳам мумкин (мисоллар кейинги пунктда келтирилади).
Аралаш ҳисилаларнинг тенглигини қуйидаги теорема ифодалайди.
1-теорема. Фараз қилайлик, функция

нуқтада марта дифференциалланувчи бўлсин. У ҳолда нуқтада функциянинг ихтиёрий -тартибли аралаш ҳосилаларнинг қиймати ўзгарувчилар бўйича қандай тартибда дифферен-циалланишига боғлиқ бўлмайди.
◄Бу теореманинг исботи, кейинги пунктда икки ўзгарувчили функция учун келтириладиган теорема исботи каби бўлади.