Боб. Алгебраик системалар 20-§. Алгебраик амал ва алгебралар

21-§. БИНАР АЛГЕБРИК АМАЛЛАРНИНГ ХОССАЛАРИ
Биз 20- § да кўриб ўтганимиздек, бирор сонлар тўп-ламида аниқланган қўшиш, кўпайтириш, даражага кў-тариш, айириш ва бўлиш амаллари бинар алгебраик (баъзан қисмий алгебраик) амаллар эди.
Мактаб алгебра курсидан маълумки, қўшиш ва кў-пайтириш амаллари коммутатив, ассоциатив ва кўпай-тириш амали қўшиш амалига нисбатан дистрибутив-дир.
Лекин математикада учрайдиган барча бинар ал­гебраик амаллар ҳар доим ҳам коммутатив ёки ассо­циатив бўлавермайди. Фараз қилайлик, А тўпламда
иккита ҳар хил ва каби бинар алгебраик амаллар берилган бўлсин.
1-таъриф. Агар А тўпламнинг ихтиёрий а ва b эле-ментлари учун тенглик бажарилса, у ҳолда
бинар алгебраик амал А тўпламда коммутатив дейилади. Масалан: 1) Сонлар тўпламида аниқланган қўшиш ва кўпайтириш амаллари коммутатив бўлади; 2) сонлар тўпла-мида аниқланган даражага кўтариш амали коммутатив эмас, чунки ab ¥= Ьа.
2-таъриф. А тўпламнинг исталган учта а, Ъ ва с эле­мента учун тенглик ўринли бўлса, у холда алгебраик амал А тўпламда ассоциатив дейила­ди.
Масалан: 1) Ихтиёрий сонлар тўпламида аниқланган қўшиш ва кўпайтириш амаллари ассоциатиқцир; 2) ҳақиқий сонлар тўпламида аниқланган даражага кўтариш амали ассо­циатив эмас, чунки
3-таъриф. А тўпламнипг исталган учта а, Ь ва с элемента учун тенглик бажа-
рилса, у ҳолда амал амалга нисбатан дистрибутив дейилади.
Масалан: 1) Сонлар тўпламида аниқланган кўпайтириш амали қўшишга нисбатан дистрибутив, чунки
" тенглик ўринли. Лекин
бўлгани учун қўшиш амали кўпайтириш амалига нисбатан дистрибутив эмас; 2) тўпламда аниқланган бирлашма амали кесишмага нисбатан ва аксинча, кесишма амали бирлашма амалига нисбатан дис­трибутив бўлади (исботланг).
4-та ъриф. Бўш бўлмаган А тўпламда аниқланган бинар алгебраик амал ва шу тўпламнинг исталган х ва у элементлари учун тенгликдан
келиб чиқса, у ҳолда А тўплам элементлари учун амалга нисбатан чапдан (ўнгдан) қисқартириш қонуни урин-ли дейилади.
Агар А тўпламнинг элементлари учун бир вақтнинг ўзи-да чап ва ўнгдан қисқартириш қонуни ўринли бўлса, А тўп-ламда қисқартириш қонуни ўринли деб юритилади.
Масалан: 1) 0 ва I дан фарқли а сон учун тенг-
ликдан хрсил бўлади, яъни даражага кўтариш амали
учун чапдан қискартириш қонуни ўринли;
2) тенгликда, а тоқ сон бўлса, келиб чи-
қади, лекин а жуфт сон бўлганда келиб чикмайди.
Шунинг учун тенгликда а жуфт сон бўлган ҳрл
учун ўнгдан қискартириш қонуни ўринли эмас;
3) исталган сонлар тўпламида кўпайтириш амалига нис-батан ҳар қандай учун чапдан ва ўнгдан қискартириш
крнуни ўринли, яъни дан ҳосил бўлади.
5-таъриф. Агар А тўпламда шундай е элемент мавжуд бўлсаки, ихтиёрий учун тенглик
бажарилса, у ҳолда е элемент амалга нисбатан чап (ўнг) нейтрал элемент дейилади.
6-таъриф. А тўпламнинг ихтиёрий х элемента учун
тенглик ўринли бўлса, е элемент амалга нисбатан нейтрал элемент дейилади. 1- теорема. Агар А тўплам амалга нисбатан чап еа ўнг нейтрал элементларга эга бўлса, у ҳолда бу эле-ментлар тенгдир.
Исботи. Тескарисини фараз қилайлик, яъни А тўплам элементлари учун е' чап нейтрал элемент, е эса ўнг нейтрал элемент бўлиб, бўлсин. е ва элементлар ҳамда А
тўпламнинг ихтиёрий х ва у элементлари учун
(3) ва
(4)
ўринли бўлади. (4) тенгликда (3) да эса деб
оламиз. Унда ва ларга биноан
бўлади. Демак, фаразимиз нотўғри экан. Теорема исботланди.
Масалан: 1) 0 ва 1 сонлари тўпламда мос равишда қўшиш ва кўпайтириш амалларига нисбатан нейтрал элемент-лардир;
2) тенглама ҳеч қандай х учун ўринли бўлмайди. Демак, даражага кўтариш амали чап нейтрал элементга эга эмас;
3) тенглик да бажарилгани учун 1 сони ўнг нейтрал элемент бўлади. Чап нейтрал элемент мавжуд бўл-магани учун даражага кўтариш амали нейтрал элементга зга эмас;
4) исталган акслантиришлар композицияси учун ай-ний акслантириш нейтрал элемент бўлади.
Фараз қилайлик, бинар алгебраик амал А тўпламда аниқланган бўлиб, бу амал учун е нейтрал элемент ^мавжуд бўлсин.—
7- т а ъ р и ф. Агар А тўпламнинг а ва элементлари
учун бўлса, элемент а га нисбатан чап симмет-
рик элемент, га нисбатан ўнг симметрии элемент
дейилади.
Масалан, ҳақиқий сонлар тўпламида а сон қўшиш амалига нисбатан га симметрик, элемент кўпай-
тириш амалига нисбатан га симметрикдир.
8-таъриф. Агар А тўпламнинг а ва элементлари учун тенглик ўринли бўлса, элемент а
га симметрик элемент, а ва лар эса ўзаро симметрик элементлар дейилади.
Агар а элементга симметрик элемент мавжуд бўлса, а тескариланувчан элемент дейилади.
2- теорема. Агар А тўпламда анщланган бинар алгебраик амал ассоциатив ва а элемент тескариланувчан бўлса, унда а га симметрик элемент ягона бўлади.
Исботи. Фараз қилайлик, иккита ҳар хил х ва у эле­мент бинар алгебраик амал бўйича битта а элементга сим­метрик бўлсин, яъни ва
бинар алгебраик амал ассоқиатив бўлганидан қуйида-гин и ёза оламиз:
Демак, экан.
Машқлар
1. тўпламда шундай алгебраик амалларни то-пингки, уларда амал ассоциатив ва коммутатив бўлгани ҳолда, га нисбатан дистрибутив бўлмасин.
2. да шундай алгебраик амал киритингки, ўнгдан ҳам, чапдан хам қисқартириш қонуни ўринли бўлмасин.
22-§. ҚИСМ АЛГЕБРАЛАР. АЛГЕБРАЛАРНИНГ ГОМОМОРФЛИГИ ВА И30М0РФЛИГИ&
Баъзи бир алгебралар ва уларнинг "элементлари ўхшаш хоссаларга эга бўлиши мумкин.
Маоалан, • хақиқий сонлар тўпламя, "эса мусбат ҳақиқий сонлар тўплами бўлганда
алгебраларнинг ҳар бирида биттадан би­нар ва биттадан нулар алгебраик амаллар аниқланган бўлиб, улар учун
каби «ўхшаш» хоссалар ўринли. Алгебраларнинг бундай «ўх-шаш» хоссалари уларнинг изоморфлик тушунчаси билан уз-вий боғлангандир. Алгебраларнинг изоморфлик тушунчасини баён қилишдан олдин бир хил турли алгебралар устида тўх-талиб ўтамиз.
Иккита бўш бўлмаган Л ва Л' тўплам берилган бўлиб, уларда мос равишда чекли сондаги ва
алгебраик амаллар аникланган бўлсин. Бу ерда алгебраик амалларнинг
барчаси ҳар хил ўринли ёки баъзи бирлари бир хил ўринли, бошқалари эса хар хил ўринли бўлиши мумкин. Юқорида эслатганимиздек, ёки ларнинг баъзилари ноль ўринли алгебраик амаллар бўлса, улар мос равишда А ёки А' тўп-ламнинг айрим элементларини ифодалаши мумкин.
1-таъриф. А ва А' тўпламда аникланган алгебраик амаллар сони тенг бўлиб, А тўпламда аникланган алгебраик амалларнинг ранги билан А' тўпламда аникланган ва амалларга мос келувчи алгебраик амаллар-
нинг'ранглари ўззро тенг бўлса,
алгебралар ўзаро бир хил турли алгебралар дейилади. Шу таърифга асосан биз юқорида кўриб ўтган
алгебралар бир хил турли алгебралар-дир.
2-таъриф. Агар А алгебранинг асосий А туплами чек­ли (чексиз) бўлса, у ҳолда алгебра ҳам чек­ли (чексиз) алгебра дейилади.
А тўпламнинг бирор бўш бўлмаган В қисм тўпламини олайлик.
3-таъриф. Агар бўлганда
бўлса, у холда В тўплам амалларга ^нисбатан
ёпиқ дейилади.\ . F j
Масалан, алгебра берилган * бўл-
син. бўлиб, учун ,бўл-
ганидан N тўплам «+» ва «•» амалларига нисбатан ёпиқ бўлади.
4-та ъриф. бўлиб,
алгебралар учун
шартлар бажа-
рилса, бу хрлда А алгебра В алгебра учун қисм алгебра (алгебраости) дейилади (бунда т сон амалнинг ранги, амал А алгебранинг га мос келувчи бир амали).
Масалан, бўлганда
алгебра алгебра учун қисм алгебра
бўлади. Лекин тартибланган жуфтлик
алгебра учун кием алгебра бўлмайди, чунки натурал сонлар тўплами айириш амалига нисбатан ёпик. эмас.
Энди алгебраларнинг гомоморфлиги ва изоморфлиги ҳа-қида фикр юритамиз.
5-таъриф. Бир хил турли ва =
алгебралар берилган бўлиб, А тўпламни А' тўпламга бир қийматли акслантирувчи шундай акслантириш мавжуд бўлиб, унинг учун
тенглик А тўпламнинг барча элементлари учун бажарилса, у хрлда А алгебра алгебрага гомоморф аксланган дейилади (бунда п сон амалнинг ранги).
Масалан, учун акслантириш
алгебрани алгебрага гомоморф акслантира-
ди, бу ерда манфиймас хакикий сонлар тўплами.
А алгебранинг А' алгебрага гомеморфлиги ор-
қали белгиланади. Агар б\'лса, у ҳолда А' алгебра
А алгебранинг гомоморф образи деб юритилади.
6-таъ'риф. Агар А алгебранинг А' алгебрага ср гомо­морф аксланиши биектив акслантириш бўлса, у ҳолда А ал­гебра А' алгебрага изоморф дейилади ва алгебралар изо­морфлиги орқали белгиланади.
Масалан, . Ҳақиқатан,
бўлганда акслантиришни олсак, тўп-
лам В тўпламнинг устига бир қийматли аксланади хамда
бўлгани учун да бинар ва нулар алгебраик амаллар сақланади. j
Энди кўринишдаги акслантириш ёрдамида
алгебра алгебра устига акв-
ланади. Бундан ташқари га аса.
сан айний акслантириш бўлгани учун
акслантириш изоморф акслантиришдир.
Бўш бўлмаган А тўпламда бир қанча алгебраик амаллар билан биргаликда қандайдир муносабатлар ҳам аниқланган бўлиши мумкин. Масалан, тўплам элементлари учун ки-чиклик, катталик, қолдиқсиз бўлинишлик, бир нечта соннинр энг катта умумий бўлувчиси ва бошка муносабатлар аниқ-ланган. Буш бўлмаган А тўпламда аниқланган муносабатлар
лардан иборат бўлса, каби белгилашни киритамиз.
Бўш бўлмаган А тўплам, унда аниқланган
алгебраик амаллар ва [муно-
сабатларнинг тартибланган учлиги алгебраик система деб ай-тилади ва у орқали белгиланади.
Масалан, алгебраик система бў-
лади.
Тартибланган жуфтлик эса баъзан модел деб
юритилади. Масалан, модел бўлади.
Биз бундан сўнг алгебраларнинг турлича кўринишлари-дан иборат бўлган группа, ҳалқа, майдон, чизиқли фазо, чи-зиқли алгебра ва бошқа тушунчалар билан шуғулланамиз.