Birinchi tartibli xususiy hosilali tenglamalarni sinflash

Birinchi tartibli xususiy hosilali bir jinsli tenglamaning umumiy yechimini va Koshi masalasi yechimini topish usuli.

Faraz qilaylik bizga birinchi tartibli xususiy hosilali bir jinsli chiziqli differensial tenglama berilgan bo’lsin:

. (3)

Bunda koeffisientlar biror sohada aniqlangan va o’zining birinchi tartibli xususiy hosilalari bilan uzluksiz va hammasi bir vaqtda nolga teng bo’lmagan berilgan funksiyalar. Aniqlik uchun bo’lsin.

Odatda (3) bilan bir vaqtda uning xarakteristik tenglamalari deb ataluvchi quiydagi diffrensial tenglamalar sistemasi qaraladi:

. (4)

(4) sistemani unga ekvivalent bo’lgan quyidagi tenglamalar sistemasi bilan almashtiramiz

. (5)

koeffisientlarga yuqoridagi qo’yilgan shartlarda (5) sistema ta chiziqli bog’lanmagan birinchi integrallarga ega bo’ladi:

. (6)

(6) ga (3) tenglamaning xarakteristik chiziqlari oilasi deb ataladi. Quyidagi lemmada (3) tenglama hamda (5) sistema yechimlari orasidagi bog’lanish keltiriladi.

Lemma. 1) Agar (5) ning biror birinchi integrali bo’lsa, u holda funksiya (3) differensial tenglamaning xususiy yechimi bo’ladi.

2) Agar funksiya (3) ning biror xususiy yechimi bo’lsa, u holda oila (5) ning birinchi integrali bo’ldi.

3) Agar lar (5) ning birinchi integrallari bo’lsa, u holda (3) differensial tenglamaning umumiy yechimi



dan iborat bo’ladi. Bunda qaralayotgan sohada uzluksiz differensiallanuvchi ixtiyoriy funksiya.

Isbot. 1). (6) ga ko’ra (5) ning ixtiyoriy birinchi integrali xarakteristik chiziqlar bo’ylab o’zgarmasga tengligi tufayli (5) ning ixtiyoriy birinchi integrali to’liq differensiali quyidagi tenglikni qanoatlantiradi

.

Bunda (5) ga asosan

tenglikdan foydalansak, quyidagi ifodaga ega bo’lamiz:

.

Agar ekanligini hisobga olsak quyidagi tenglikni olamiz:

. (7)

Ushbu tenglik larga bog’liq bo’lmagan holda qaralayotgan sohaning barcha nuqtalarida bajariladi. Bu esa funksiya (3) differensial tenglama uchun xususiy yechim ekanligini bildiradi. Shunday qilib biz lemmaning 1) –qismini isbotladik.

2) Faraz qilaylik funksiya (3) ning biror xususiy yechimi bo’lsin, ya’ni (7) ning ayniyat ekanligini olamiz. U holda funksiyaning to’la differensialini hisoblaymiz:

.

Bunda (5) sistemani hisobga olsak quyidagi tenglikni olamiz:

.

Bu tenglikda (7) ayniyat ekanligini hisobga olsak bo’ladi, ya’ni (5) sistemaning ixtiyoriy untegral chizig’i bo’ylab bo’lar ekan.

3) Teoremaning bu tasdig’ini isbotlash uchun, ya’ni (3) ning umumiy yechimi xarakteristikalar orqali

ko’rinishda ekanligini isbotlash uchun u barcha xususiy yechimlarni o’z ichida saqlovchi yechim ekanligini ko’rsatishimiz yetarli. Faraz qilaylik nolmas funksiya (3) ning ixtiyoriy bir xususiy yechimi bo’lsin. U holda tenglikni qanoatlantiruvchi va uzluksiz differensiallanuvchi funksiyaning mavjud ekanligini ko’rsatamiz. Teorema sharti va farazimizga asosan funksiyalar (5) sistemaning va teoremaning isbotlangan 2) qismiga ko’ra ular (3) ning ham yechimlari ekanligidan quyidagi ayniyat o’rinli

(8)

Agar (8) ayniyatni larga nisbatan bir jinsli chiziqli tenglamalar sistemasi deb qarasak uning nolmas yechimga ega ekanligidan uning determinanti nolga teng bo’lishu zarur bo’ladi:

.

Bundan funksiyalar sistemasining Yakobiani nolga teng bo’lganligi uchun ular chiziqli bog’langan degan xulosaga kelamiz. Demak, nolmas funksiya qolganlari orqali ifodalanadi:

.

(5) sistemaning har bir birinchi integrali bo’ylab funksiyalar o’zgarmasga aylangani uchun funksiya ham (5) sistemaning integral chiziqlari bo’ylab o’zgarmasga aylanadi, ya’ni ham (5) ning integrali bo’ladi. Teoremaning 2) tasdigiga asosan funksiya (3) ning yechimi bo’ladi. Demak funksiya (3) ning barcha xususiy yechimlarini beruvchi yechim ekan. Bu esa uning umumiy yechim ekanligini anglatadi.