Birinchi tartibli xususiy hosilali tenglamalarni sinflash

2) Agar berilgan nuqtada bo’lsa (2) tenglama bu nuqtada parabolik tipli deyiladi.

3) Agar berilgan nuqtada bo’lsa (2) tenglama bu nuqtada elliptik tipli deyiladi.

(2) tenglamaning hamma giperbolik tipli bo’ladigan nuqtalari to’plami shu tenglamaning giperboliklik to’plami, parabolic tipli nuqtalari to’plami parabolic sohasi va elliptic tipli bo’ladigan nuqtalari to’plami uning elliptiklik sohasi deyiladi. Agar (2) tenglama qaralayotgan soha nuqtalarida bir nechta tipga ega bo’lsa, bu sohada tenglama aralash tipli deyiladi.

Endi (2) tenglama faqat bir tipga ega bo’ladigan biror D to’plamni qaraymiz. (11) ga asosan bu sohaning har bir nuqtasidan (2) tenglamaning ikkita xarakteristik chizig’I o’tadi. Xususan, (2) tenglama D sohada giperbolik tipli bo’lganda ikkala turli haqiqiy qiymatli, parabolik holda ustma-ust tushuvchi haqiqiy qiymatli va elliptik bo’lganda esa ikkita qo’shma kompleks qiymatli xarakteristik chiziqlar hosil bo’ladi. (2) tenglamaning kanonik shaklini topish uchun bu hollarni alohida-alohida qarab chiqamiz.

1. 
   D sohada (2) giperbolik tipli bo’lsin, ya’ni uning barcha nuqtalarida tengsizlik o’rinli. Bu holda (11) ning har ikkala tenglamasi haqiqiy qiymatli
   

umumiy integrallarga ega bo’ladi. Mavzu boshida aytilgan yangi o’zgaruvchilarni

kabi tanlaymiz. U holda Lemma va (6) ga asosan bo’lib, yangi o’zgaruvchilarda (2) tenglama quyidagi ko’rinishni oladi:

, (12)

bunda

.

Odatda (12) tengalamaga giperbolik tenglamalarning 1-tur kanonik shakli deyiladi. Agar unda almashtirishlarni bajarsak

bo’lib, (12) ga asosan giperboik tenglamalarning 2-tur kanonik shakli

hosil bo’ladi.

2. 
   D sohada (2) parabolik tipli bo’lsin, ya’ni uning barcha nuqtalarida tenglik o’rinli. Bu holda (11) ning har ikkala tenglamasi bitta haqiqiy qiymatli
   

umumiy integralga ega bo’ladi. Bu holda yangi o’zgaruvchilarni

kabi tanlaymiz. Bunda orqali bilan chizqli bogl’anmagan ixtiyoriy funksiya tanlangan. U holda Lemma va (6) ga asosan va bo’lib, bo’lganligi uchun (6) dan

ekanligini olamiz. Natijada (5) da bo’lish bilan giperbolik tipli tenglamalarning kanonik shakli ni hosil qilamiz:

.

Bunda

.

3. 
   D sohada (2) tenglama elliptik tipli bo’lsin, ya’ni uning barcha nuqtalarida tengsizlik o’rinli. Bu holda (11) ikkita qo’shma kompleks umumiy integrallarga ega bo’ladi
   

.

Bu holda yangi o’zgaruvchilarni

kabi tanlaymiz. Bu holda o’rinli bo’ladi. (5) tenglamaning ikkala tomonini ga bo’lib, elliptic tipli tenglamalarning

kanonik shaklini hosil qilamiz.

_Misol-2

Quyidagi berilgan ikkinchi tartibli xususiy hosilali o’zgaruvchi koeffisientli chiziqli differentsial tenglamaning tiplarini aniqlang va ularni kanonik holga keltiring

_{Bu tenglamani yechish uchun quyidagi formulalardan foydalanamiz}

Yechish:bu misolda

bu yerda a=1 b=1 c=0 shularga tenglamani tipini aniqlaymiz.

demak bu tenglamani tipi gepirbolik tipli ekan.

Kanonik holga keltirish uchun quyidagi formulalardan foydalanamiz

Mustaqil ish-2

1. 
   Bir jinsli masalaga o’zgaruvchilarni ajrtish usulining tadbiq qilinishi.
   
2. 
   Bir jinsli bo’lmagan tenglamaning bir jinsli shartlarda Fur’e usulida yechilishi
   

Bu mavzuning asosiy mohiyati xuddi biz to’lqin tenglamasiga qo’yilgan chegaraviy yoki aralash masalani yechishda qo’llanilgan Fur’e usulining issiqlik tarqalish tenglamasiga tadbiq etishdan iboratdir. Avvalgi mavzularda biz issiqlik tarqalish tenglamasiga qo’yilgan uch turdagi chegaraviy masalalarning qo’yilishi, ular yechimining yagonaligi masalasini hal etilishi bilan tanishgan edik.

Ayytilgan usul bilan biz dastlab issiqlikning bir jinsli tenglamasiga qoyilgan bir jinsli 1-tur chegaraviy masala misolida tanishamiz, ya’ni quyydagi masalani yechamiz:

(1)

issiqlik tarqalish tenglamasining

(2)

boshlang’ich hamda

(3)

chegaraviy shartni qanoatlantiruvchi va sohada aniqlangan ikkinchi tartibgacha uzluksiz yechimini topish talab qilinadi. Bunda berilgan uzluksiz differensizllanuvchi funksiya bo’lib, shartni qanoatlantiradi.

Ushbu masalaning izlangan ko’rinishdagi nolmas yechimi mavjud deb faraz qilib

(4)

ko’rinishda izlaymiz. Yechimning kerakli xususiy hosilalarni topib (1) tenglamaga qo’ysak, u quyidagi tenglamaga teng kuchli bo’ladi:

.

Xuddi to’lqin tenglamasidagi kabi, bu tenglamaninig ikkala qismini nolmas ifodaga bo’lib quyidagi tenglamalarga kelamiz:

.

Bu tenglama biz avval tanishganimiz kabi ikkita oddiy differensial tenglamalarga ajraladi:

(5)

(3) chegaraviy shartlar quyidagi ko’rinishni oladi:

,

chunki bo’lsa (4) ga asosan yechimning aynan nolga tengligiga kelamiz. Bu esa shartga ko’ra mumkin emas.

Shunday qilib biz funksiya uchun quyidagi qo’shimcha masalaga keldik:

(6)

tenglamaning

(7)

shartlarni qanoatlantiruvchi nolmas yechimini topish lozim. Odatda bu masala issiqlik tarqalish tenglamiga qo’yilgan bir jinsli 1-tur chegaraviy masalaga mos Shturm-Liuvill masalasi deb yuritiladi. (6) tenglama nolmas yechimga ega bo’ladigan ning qiymatiga Shturm-Liuvill masalasi xos qiymati va unga mos nolmas yechimga esa unga mos xos funksiya deyiladi.

Shturm-Liuvill masalasi yechimini ko’rinishda izlaymiz. U holda ikkinchi tartibli oddiy chiziqli (6) differensial tenglamaning xarakteristik tenglamasi deb ataluvchi

(8)

tenglamaga kelamiz. Ushbu chala kvadrat tenglamaning yechimi qiymatining ishorasiga (manfiy, nol yoki musbatligiga) bog’liq. Shuning uchun ham bu uchta holni alohida-alohida qarab chiqamiz.

1-hol. manfiy bo’lsin. Bu holda (8) tenglama ikkita har xil haqiqiy ildizlarga ega bo’lib, (6) tenglamaning umumiy yechimi

ko’rinishda bo’ladi. Bundagi  va  koeffisientlarni shunday tanlaymizki, (7) chegaraviy shartlar ham bajarilsin. Bu shartlar asosida quyidagi chiziqli tenglamalar sistemasiga kelamiz:

.

Oxirgi tenglik bo’lganda ( bo’lishi yetarli) ga asoslanib yozilgan. Demak bo’lgan holda Shturm-Liuvill masalasi faqat nol yechimga ega bo’lib, xos qiymat va xos funksiyaga ega emas ekan. Endi ikkinchi holni qaraymiz.

2-hol. bo’lsin. Bu holda (6) tenglama ko’rinishni oladi. Uning umumiy yechimi ko’rinishda bo’ladi. Bunda ham  va  koeffisientlarni shunday tanlaymizki, (7) chegaraviy shartlar ham bajarilsin:

.

Demak bo’lgan holda ham Shturm-Liuvill masalasi faqat nol yechimga ega bo’lib, xos qiymat va xos funksiyaga ega bo’lmas ekan. Endi so’ngi holni qaraymiz.

3-hol. musbat bo’lsin. Bu holda (8) tenglama ikkita qo’shma kompleks ildizlarga ega bo’lib, (6) tenglamaning umumiy yechimi

ko’rinishda bo’ladi. Bu holda ham umumiy yechimdagi ixtiyoriy  va  koeffisientlarni shunday tanlaymizki, (7) chegaraviy shartlar bajarilsin. Bu shartlar asosida quyidagi chiziqli tenglamalar sistemasiga kelamiz:

.

Oxirgi sistemadan bo’lganligidan ( bo’lsa  bo’lar edi)

ekanligini va ularha mos yechim o’zgarmas ko’paytuvchi aniqligida

.

Demak bo’lgan holda Shturm-Liuvill masalasi musbat xos qiymatlarga va ularga mos xos funksiyalarga ega bo’lib, xos funksiyalar skalyar ko’paytmasi uchun  bo’lganda

tenglikni, ya’ni ortogonallik shartini qanoatlantiradi.

Demak (1) tenglama faqatgina bo’lgandagina nolmas yechimga ega bo’lar ekan. bo’lganda (5) sistemaning ikkinchi tenglamasi yechimi quyidagicha tasvirlanadi:

. (9)

U holda (4) ga asosan

.

(1) ning chiziqli differensial tenglama ekanligidan va hozircha yaqinlashishi noma’lum bolgan

(10)

qator har biri uning yechimidan iboratligidan yig’indi ham (1) tenglamaniing (3) chegaraviy shartlarni qanoatlantiruvchi yechimi bo’ladi. koeffisientlarni shunday tanlaymizki, (2) boshlang’ich shart ham bajarilsin:

.

Biz to’lqin tenglamasi uchun Fur’e usulida ta’kidlaganimizdek, oxirgi ifodadan c lar funksiyaning Fur’e koeffisientlari ekanligini olamiz. Bundan esa bu koeffisientlar uchun

(11)

formula o’rinli ekanligini olamiz.

Shunday qilib biz koeffisientlari (11) formulalar bilan aniqlanuvchi (10) qatorning yaqinlashuvchi bo’lib, uning yig’indisi ning (ya’ni qatorning)  bo’yicha ikki marta va  bo’yicha bir marta differensiallanuvchanligini ko’rsatsak, qo’yilgan (1)-(3) masalaning yechimini topgan bo’lamiz.

Shu maqsadda biz

va

qatorlarning tekis yaqinlashuvchiligini ko’rsatamiz. Buning uchun funksional qatorlar tekis yaqinlashuvchi bo’lishligi haqidagi Veyershtrass teoremsini tatbiq etamiz. Faraz qilaylik ixtiyoriy son va bo’lsin.

.

Shartga ko’ra funksiya yopiq sohada uzluksiz bo’lganligi uchun chegaralangan bo’ladi, ya’ni shunday  son topilib barcha lar uchun tengsizlik bajariladi. U holda

tengsizlik o’rinli bo’ladi. Bundan foydalansak quyidagi munosabatga ega bo’lamiz:

.

Umumiy hadi

bo’lgan

musbat hadli qatorning yaqinlashuvchi ekanligini ma’lum alomatlar, masalan Dalamber (yoki Koshi) alomatidan foydalanib

ekanligini ko’rsatish mumkin. Demak Veyershtrass teoremasiga ko’ra (10) qatorni  bo’yicha sohada istalgan marta differensiallash mumkin. ning ixtiyoriyligidan bu tasdiq istalgan uchun o’rinli bo’lib, (10) qator yig’indisi (1) tenglamani va (2)-(3) shartlarni qanoatlantiradi.

Endi (10) qatorni  bo’yicha sohada istalgan marta diffrensiallash mumkinligini ko’rsatamiz. Xuddi yuqoridagi kabi mulohazalar yuritib, quyidagi baholashga ega bo’lamiz:

Bundan esa (10) qator yaqinlashuvchi va uning yi’indisi (1) tenglamaning (2)-(3) shartlarni qanoatlantiruvchi yechimi ekanligini olamiz.