Birinchi tartibli differensial tenglamalar. O`zgaruvchilari ajralgan va ajraladigan differensial tenglamalar. Ta`rif

3.

Yechish: tenglamani har ikkala tomonini ga ko`paytiramiz:

tenglamani integrallasak,

bo`ladi.

integralni topish uchun almashtirish qilamiz, dan ni topamiz,

u holda integral

ko`rinishda bo`ladi.

Oxirgi ifodani tenglikni chap qismiga qo`ysak, u holda

bo`ladi.

almashtirishni hisobga olsak,

umumiy javobga ega bo`lamiz.

Mustaqil yechish uchun misollar:

1.

2.

3.

4.

5.

6. ; , boshlang`ich shartni qanoatlantiruvchi yechimni topamiz

7. ; ;

8. ;

9.

10.

Mavzu. Birinchi tartibli chiziqli differensial tenglamalar. Bernulli tenglamasi. To’la differensial tenglamalar.Yuqori tartibli differensial tenglamalar. Tartibi pasaytiriladgan differensial tenglamalar

Bir jinsli differensial tenglamalar. Bir jinsli differensial tenglamaga keltiriladigan tenglamalar.
Bir jinsli differensial tenglama. Oldin bir jinsli funksiya tushunchasini kiritamiz.

Ta’rif: Agar f (x,у) funksiya ixtiyoriy o‘zgarmas λ soni uchun

f (λ x, λ у) = f (x , у)

shartni qanoatlantirsa, bu funksiya x vа у o‘zgaruvchilarga nisbatan bir jinsli funksiya dеb ataladi.

Masalan,

bir jinsli funksiya bo‘ladi, chunki

.

Xuddi shunday tarzda

funksiyalar ham bir jinsli bo‘lishini ko‘rsatish mumkin va buni o‘quvchiga havola etamiz.

Lemma: Agar f(x,у) bir jinsli funksiya bo‘lsa, uni f(x,у)=g(y/x) ko‘rinishda yozish mumkin.

Isbot: Funksiyaning bir jinslilik shartida λ=1/x deb olib

lemma tasdig‘iga ega bo‘lamiz.

Masalan,

.

Ta’rif: Agar birinchi tartibli

уў= f (x , у)

tеnglamadа f(x,у) bir jinsli funksiya bo‘lsa, u bir jinsli diffеrеnsial tеnglama dеyiladi.

Lemmaga asosan bir jinsli I tartibli diffеrеnsial tеnglamani

(8)

ko‘rinishda yozish mumkin. Bu tenglamani integrallash uchun u(x)=u=y/x almashtirma bajaramiz. Bu holda

tenglikka ega bo‘lamiz. Bu tenglik va (8) tenglamadan foydalanib u=u(x) funksiya uchun ushbu tenglamani hosil etamiz:

Bu o‘zgaruvchilari ajraladigan differensial tenglama bo‘lib, uning umumiy integralini yuqorida ko‘rsatilgan usulda topamiz:

. (8^*)

(8^*) tenglamadan u=u(x,C) umumiy yechimni aniqlagach, berilgan (8) tenglamaning umumiy integralini y=xu formula orqali topamiz.

Misol sifatida bir jinsli

differensial tenglamani ko‘rsatilgan usulda integrallaymiz:

Ta`rif: Agar ning har qanday qiymatida ayniyat to`g`ri bo`lsa, funksiya va o`zgaruvchilarga nisbatan n-o`rinli bir jinsli funksiya deyiladi.

1-misol. funksiya bir o`lchovli bir jinsli funksiya, chunki

;

2-misol. -funksiya ikki o`lchamli bir linsli funksiya, chunki



3-misol. - nol o`lchovli bir jinsli funksiya, chunki