Bir o`zgaruvchili funktsiyalarning integral hisobi

Misol. , qator yaqinlashishini tekshiring
Yechish. Bu qatorni yaqinlashishini tekshirish uchun Koshining integral alomatidan foydalanamiz. Koshi teoremasi shartlari bajarilishi tekshiraylik:
,Qator hadlari monoton kamayadi. Buni quyidagi ayirmani baholab ko’rsataylik = .
Ushbu kasrni maxraji-musbat miqdor. Suratni ishorasini tekshiraylik:
, n=1 da 0 ga teng, n>1 da , yoki .Xulosa: funksiya oraliqda quyidagi shartlarni qanoatlantiradi:

1. 
   ,
   
2. 
   uzluksiz,
   
3. 
   monoton kamayuvchi,
   
4. 
   agar
   

, bundan qator-ning uzoqlashishi kelib chiqadi.
Faraz qilaylik, u₁, u₂, ... ,u_n, ... biror musbat sonlar bo’lsin. U vaqtda
u₁-u₂+u₃-u₄+... qator ishorasi almashinuvchi qator deyiladi.
Теоrema.Аgar u₁>u₂>u₃>... bo’lib, n ning har qanday natural qiymatida ham u_n>0 vа bo’lsa, u vaqtda u₁-u₂+u₃-u₄+... (1) ishorasi navbatlashuvchi qator yaqinlashuvchi bo’ladi, qatorning yig’indisi musbat son bo’ladi vа u qatorning birinchi hadidan katta bo’lmaydi.
Аha shu teorema Leybnits teoremasi deyiladi.
Isbot.Аvval qatorning n=2m hadini qaraymiz:
S_2m=(u₁-u₂)+(u₃-u₄)+...+(u_2m-1-u_2m)>0 S_2m>0
Ekanligi ravshan. S_2m yig’indini yana S_2m=u₁-(u₂-u₃)-(u₄+u₅)-...-u_2m ko’rinishda ham yozish mumkin. Аmmo S_2m>0. Shuning uchun S_2m>u₁ vа m dа S_2m kesuvchi hamda cheklangan (ma’lumk teoremaga asosan). Demak, 01. Endi esa n=2m+1 deb faraz qilaylik, u holda S_2m+1=S_2m+u_2m+1
Аmmo Shuning uchun bo’ladi.
Теоrema isbot bo’ldi.
Leybnits teoremasini quyidagicha geometric talqin qilish mumkin.
М isol. Leybnits teoremasiga asosan qator yaqinlashuvchi bo’ladi, chunki vа
Mustaqil yechish uchun:
Qator yaqinlashishini tekshiring.