Bir o`zgaruvchili funktsiyalarning integral hisobi

Ixtiyoriy o’zgarmasni variatsiyalash usuli
(2) tenglamaning umumiy yechimini yozamiz:
у=С₁у­₁+С₂у₂ (3)
С₁ vаС₂ ni х ning hozircha noma’lum funktsiyalari hisoblab, (1) tenglamaning xususiy yechimini (3) ko’rinishda izlaymiz.
(3) ni differentsiallaymiz:
y'=C₁y₁'+C₂y₂'+C₁'y₁=c₂'y₂

C₁ vаС₂ funktsiyalarni

С₁'y₁+C₂'y₂=0 (4)
Tenglik bajariladigan qilib tanlab olamiz. u holda y'=C₁y₁'+C₂y₂' (5) ko’rinishda bo’ladi.
Bundan y''=C₁y₁''+C₂y₂''+C₁'y₁'+C₂'y₂'. y,y'ваy'' larni (1) tenglamaga qo’yib –С₁y₁''+C₂y₂'+C₁'y₁'+C₂'y₂'+a₁(C₁y₁'+C₂y₂')+a₂(C₁y₁+C₂y₂)= (x)
yoki
С₁(y₁''+а₁y₁'+a₂y₁)+C₂(y₂''+a₁y₂'+a₂y₂)+C₁'y₁'+C₂'y₂'= (x) tenglikni hosil qilamiz.
Birinchi ikkita qavs ichida turgagilar nolga aylanadi, chunki у₁ vау₂ (2) tenglamaning yechimlari. Demak,
C₁'y₁'+C₂'y₂'= (x) (6)
Shunday qilib, С₁ vваС₂ funktsiyalar (4) vа (6) shartlarni qanoatlantirsa, (3), (1) ning umumiy yechimi bo’ladi
(7)
c₁'=₁(x), c₂'=₂(x), larni (7) gа quyib topamiz vа c₁=₁(x)dx+ , c₂=₂(x)dx+ bu yerda vа integrallash o’zgarmasdirlar.
2‑teorema.y'+a₁у'+a₂y= ₁(x)+ ₂(x) (8) tenglamaning у* yechimini (bunda o’ng tomon ikkita ₁(x) vа ₂(x) funktsiyalarning yig’indisidan iborat) у*=у₁*+у₂* yig’indi shaklida tasvirlash mumkin, bunda у₁* vау₂* mos ravishda
(9)
(10)
tenglamalarning yechimlari.
Isbot. (9) vа (10) tenglamalarning o’ng va chap tomonlarini qo’shib ushbuni hosil qilamiz (y₁*+y₂*)'’+a₁(y₁*+y₂*)'+a₂(y₁*+y₂*)= ₁(x)+ ₂(x) keyingi tenglikdan, ushbu у₁*+у₂*=у*(8) tenglamaning yechimi bo’lar ekan.
O’zgarmas koeffitsiyentli bir jinslimas ikkinchi tartibli chiziqli differentsial tenglamalar
Ushbu
y''+py'+qy= (x) (1)
tenglama berilgan bo’lsin bunda p vаq haqiqiy sonlar
I. (x)=P_n(x)e^x (2)
ko’rsatgichli funktsiya bilan ko’phad ko’paytmasidan iborat. Bunda P_n(x) -n darajali ko’phad.
а)  soni
k²­­­+pk+q=0 (3)
xarakteristik tenglamaning ildizi bo’lmagan hol.
U holda xususiy yechimi y*=Q_u(x)e^x (4)
Ko’rinishda izlash kerak. у* ni (1) gа qo’yamiz, bu yerda Q_u(x)=A₀x^u+A₁x^u+1 +...+A_n, A₁,A₂ ,A₃ ,...,A_n lar noma’lum koeffitsiyentlar
Q_n(x)+(2  +p) Q_n`(x)+(<sup>2</sup>+p+q) Q<sub>n</sub>(x)=P<sub>n</sub>(x) (5)
Tenglikning chap vа o’ng qismidagi bir xil darajali х lar oldidagi koeffitsiyentlarni tenglashtirib, noma’lum А<sub>1</sub>,А<sub>2</sub>, ....,Аn larga nisbatan (n+1) tenglamali, tenglamalar sistemasini hosil qilamiz.
б) soni (3) ning oddiy (bir karrali) ildizi bo’lgan hol, bunda (5) dа<sup>2</sup>+p+q=0 vа chap tomonda n‑1 darajali, o’ng tomonda n darajali ko’phadlar hosil bo’ladi. Shuning uchun y*=xQ<sub>n</sub>(x)e<sup>x</sup> bo’ladi.
в)  son (3) ning ikki karrali ildizi bo’lgan xol. Bu yerda (5) dа<sup>2</sup>+p+q=0; 2+p=0 ; Q<sub>n</sub>`(x)=P_n(x); хosil bo’ladi.
Shuning uchun y*=x²Q_n(x)e^x ko’rinishda olinishi kerak.
II. f(x)=P(x) e^xcos x+Q(x) e^xsin x bunda P(x) vаQ(x)-ko’phadlar.
а) agar +i son (3)ning ildizi bo’lmasa,
y*=u(x) e^xcos x+v(x) e^xsin x (6)
ko’rinishda izlash kerak. u(x) vа v(x) lar darajasi Р(х) vа Q(х) ko’phadlarning eng yuqori darajasiga teng bo’lgan ko’phadlardir. б) аagar +i (3) ning ildiz bo’lgan xol. U holda y*=x[u(x) e^xcos x+v(x) e^xsin x] bo’ladi.
III. f(x)=Mcosx+Nsinx , M vа N lar o’zgarmas sonlar.
а) аgar i (3)ning yechimi bo’lmasa y*=Acos x+Bsin x bo’ladi.
б) аgar i soni (3) ildizi bo’lsa, у*=х(Аcos?x+Bsin?x) bo’ladi.
y*=x(Acos x+Bsin x) bo’ladi.


Misol. tenglama umumiy echimini topaylik.
Yechish:
Berilgan tenglamaga mos bir jinsli tenglama xarakteristik tenglamasini tuzaylik , ushbu tenglama yechimlari ga teng. tenglamanung umumiy yechimi bo’ladi. Berilgan tenglama xususiy yechimini , ko’rinishda izlaymiz, u holda ,
bo’ladi. Bularni tenglamaga qo’ysak ni hosil qilamiz, bundan esa ni topamiz. Demak, berilgan tenglama umumiy yechimi ko’rinishda bolar ekan.

Differensial tenglamalarning normal sistemasi.
Differentsial tenglamalar sistemasiga dinamikani oddiy masalalaridan biri, ya’niog’ir moddiy nuqtaga ta’sir etuvchi kuch berilgan bo’lsa, uni harakat qonunini topish. Bu masalani yechishda umumiy holda quyidagi sistemasa kelinadi.
(1)
bu yerda x, y, z harakatlanuvchi nuqtaning koordinatalari, t-vaqt, f, g va h o’z argumentlarining ma’lum funktsiyalari. Bu sistemani differentsiallash yordamida
N=2+2+2=6 tartibli bir noma’lumli tenglamaga keltiriladi. Buni misolda ko’rsataylik.
Misol 1. (argument t) bu sistema uchun №=2
Yechish. bu tenglamada faqat bitta o’zgaruvchi qatnashayapti. Uning yechimi
(2)
endi sistemaning 1-tenglamasidan
(3)
bo’ladi. Topilgan (2) va (3) ifodalar berilgan sistemani yechimlari deyiladi.
Misol 2. bu sistema 2 –tenglamasidan
yoki bo’ladi. Bu tenglama yechimi
ko’rinishda bo’ladi.
Bu holda bundan ni hosil qilamiz.
Misol 3. bu sistemani yechish uchun yuqoridagi usul biror natijaga olib kelmaydi. Ko’rinib turibdiki bi sistemaning 1-tenglamasi faqat bitta funktsiyaga bog’liq, uni bevosita yechish mumkin.
bundan esa x=c₁e^t ekanini topamiz, topilgan yechimni sistemaning 2-tenglamasiga qo’ysak
ni hosil qilamiz, uning yechimi
yechimni topamiz. Demak, sistema yechimlari topildi.
Yuqorida keltirilgan usul, har doim ham qo’yilgan masalani to’la yechish imkonini bermaydi. Shuning uchun sistema yechimini topishning boshqa yo’lini izlash kerak.
Bizga ushbu o’zgarmas koeffitsiyentli chiziqli differentsial tenglamalar sistemasi
(1)

berilgan bo’lsin. Bunda а_ij koeffitsiyentlar o’zgarmas sonlar. Bu yerda t аrgument, x₁(t), x₂(t), ... , x_n(t) izlanayotgan funktsiyalar.

Sistemaning xususiy yechimini
x₁₌₁e^kt, x₂₌₂e^kt, ..., x_n=_ne^kt, (2)
ko’rinishida izlaymiz, bu yerda ₁, ₂,..., _n vак sonlarni aniqlash talab qilinadi.
(2) ni (1) gа qo’yamiz

e^kt gа qisqartiramiz. Barcha hadlarni bir tomonga o’tkazib vа₁, ₂, ... _n oldidagi koeffitsiyentlarni to’plab, quyidagi tenglamalar sistemasini hosil qilamiz.
(3)
₁, ₂, ..., к larni (3) sistemani qanoatlantiradigan qilib tanlab olamiz. (3) ning determinantini tuzamiz.
(4)
Аgar к shunday bo’lsaki, 0 bo’lsa, (3) faqat ₁=₂=...=_n=0 bo’ladi, (2) formula faqat trivial yechimni beradi.
x₁(t) = x₂(t)=...= x_n(t)0
Shunday qilib, (2) trivial bo’lmagan yechimlarni biz k‑ning shunday qiymatlarida hosil qilamizki, bu qiymatlarda =0.
Biz k ni aniqlash uchun ushbu n tartibli tenglamaga kelamiz.
(5)
(5) tenglama (1) tenglamaning xarakteristik tenglamasi deyiladi, uning ildizlari xarakteristik tenglamaning ildizlari deyiladi.
Bir necha holni ko’rib chiqamiz.
I. Хаrakteristik tenglamaning ildizlari haqiqiy vа har хil. к₁,к₂, ...к_n lar bilan (5) ning ildizlarini belgilaymiz. Har bir к_i ildiz uchun (3) sistemani yozamiz vа
₁⁽ⁱ⁾ , ₂⁽ⁱ⁾, ..., _n⁽ⁱ⁾
koeffitsiyentlarni aniqlaymiz. к₁ ildiz uchun (1) sistemaning yechimi
x₁⁽¹⁾, ₁⁽¹⁾e^k₁^t, x₂⁽¹⁾, ₂⁽¹⁾e^k₁^t, ..., x_n⁽¹⁾, _n⁽¹⁾e^k₁^t
к₂ ildiz uchun (1) sistemaning yechimi
x₁⁽²⁾, ₁⁽²⁾e^k₂^t, x₂⁽²⁾, ₂⁽²⁾e^k₂^t, ..., x_n⁽²⁾, _n⁽²⁾e^k₂^t
..................................
к_n ildiz uchun (1) tenglamaning yechimi
x₁⁽ⁿ⁾, ₁⁽ⁿ⁾e^k_n^t, x₂⁽ⁿ⁾, ₂⁽ⁿ⁾e^k_n^t, ..., x_n⁽ⁿ⁾, _n⁽ⁿ⁾e^k_n^t
bevosita tenglamaga qo’shish yo’li bilan
(6)
funktsiyalar sistemasi ham, bunda С₁,С₂,...,С_n ixtiyoriy o’zgarmas miqdorlar, (1) differentsial tenglamalar sistemasining umumiy yechimidir.
Хаrakteristik tenglamaning ildizlari bir хil,ammo ular orasida kompleks ildizlari bor
Хаrakteristik tenglamaning ildizlari orasida ikkita qo’shma kompleks ildiz bo’lsin.
k₁=+i, k₂=-i
Bu ildizlarga ushbu yechimlar mos bo’ladi.
(7)
(8)
_j⁽¹⁾ vа_j⁽²⁾ koeffitsiyentlar (3) tenglamalar sistemasidan aniqlanadi.
Ikkita xususiy yechim hosil bo’ladi.
(9)
Bunda lar _j⁽¹⁾ vа_j⁽²⁾оrqali aniqlanadigan haqiqiy sonlar.
(9) funktsiyalarning mos kombinatsiyalari sistemaning umumiy yechimiga kiradi.
Misol. tenglamalar sistemasi umumiy echimi topilsin.
Yechish: Xarakteristik tenglamani tuzamiz.
yoki
a) da
bunda son
b) da bunda
bundan
v) da bundan

Demak, sistema yechimi