Bir o`zgaruvchili funktsiyalarning integral hisobi

Misol 3. Hisoblansin. .
Yechish.Agar ko‘rinishda olinsa integral oson hisoblanadi.


Misol 4. hisoblansin.
Yechish.Integral ostidagi sinx funksiya musbat juft darajali bo‘lgani uchun quyidagi formulani qo‘llaymiz: ko‘rinishda yozib olamiz
U holda


Bu integralni davomida quyidagi formulani qo‘llaymiz:


Davomida quyidagi integralni
, gde i
hisoblash usulini ko‘ramiz.
Misol 5. hisoblang.
Yechish.Integral ostida faqat funksiyadan iborat formuladan foydalanamiz. Ko‘rinadiki funksiya orqali ifoda qilingan.
Bu holatda almashtirish olsak bo‘ladi. Agar tangenus funksiyani darajasi toq darajada bo‘lsa integral ostidagi funksiyani sec x orqali ifodalasa yaxshi bo‘ladi va sec x funksiyani bulaklab integrallasa yaxshi natija berishini keyingi misolda ko‘ramiz.


Misol 6. hisoblansin.
Yechish.Bu integralni hisoblash uchun bo‘laklab integrallaymiz


almashtirish olamiz. U holda bo‘ladi.

Formulani qo‘llab integralni echsak quyidagini olamiz.

Har xil argument sinus va kosenuslarning o‘zaro kupaytmasini integrali.

Trigonometrik funksiyalarni kupaytmasini yig‘indi shakliga keltirish va ularni integrallash quyidagicha:

Misol 7.
Misol 8.
Ayrim hollarda trigonometrik fnuksiyalarni integrallashda integral ostidagi trigonometrik funksiyalarni tartibini kamaytirish qulaydir.
Misol 9.

Ayrim hollarda standart bo‘lmagan usullar ham qo‘llash mumkin.

Misol 10.

Natijada
olamiz.
Misol 11.
Umuman olganda bunday integral ostidagi cosx funksiya toq darajada kelsa misol javobi yaxshi natija beradi, sinx funksiya esa har qanday darajada kelishi mumkin.
Misol 12.
ko‘rinishdagi integralda
funksiya va ga nisbatan juft darajada bo‘lgan hol.